Diferenciales En La Fisica

Aplicaciones a la física:

Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke:

Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.

Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,

10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.

Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden'

Segunda Ley de Newton:

Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:

W = m . g

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden'

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:

m d²x/dt² = - k (s + x) + mg

= - kx + mg - ks = - kx

cero

Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:

Dividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:

d²x/dt² + k/m x = 0

o bien d²x/dt² + ²x = 0

En donde ² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:

x(0) = , dx/dt% =

%t =0

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0 y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está % %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.

Solución y ecuación de movimiento:

Para resolver la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = i y Mi = - i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos t + C2 sen t.

El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2 / y la frecuencia es = 1/T = /2 . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2 /3 y la frecuencia es 3/2 . El primer numero indica que hay 3 ciclos de la grafica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2 / es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos t + C2 sen t mediante las condiciones iniciales

x(0) = , dx/dt% =

%t = 0

,

...