Dinamica Estructural

INTRODUCCION

En las aplicaciones prácticas de la Mecánica Estructural se dan con frecuencia situaciones en las que la naturaleza de las acciones exteriores altera el carácter lineal de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de la estructura, aún cuando se pueda considerar que el material permanece en régimen elástico y que tanto los movimientos como las deformaciones del sistema son pequeños. Tal es el caso, por ejemplo, del tráfico de vehículos sobre puentes o de las oscilaciones de una estructura sumergida producidas por el movimiento del fluido. No es admisible que para las acciones de diseño de estas obras se produzcan movimientos grandes o deformaciones irrecuperables y, sin embargo, un cálculo riguroso exige aplicar las técnicas del análisis no lineal para la obtención de la respuesta.

Ante situaciones de este tipo el criterio del analista conduce habitualmente a simplificaciones que tienden a linealizar el problema sin que se alteren demasiado los resultados.

En el caso de las estructuras sumergidas la simplificación más corriente conduce

a modificar el valor de la fuerza de arrastre hasta hacerlo depender linealmente de la velocidad relativa entre el fluido y la estructura (Brebbia et al1). Esto permite, en general, aplicar las conocidas técnicas del análisis dinámico lineal: superposición modal, análisis en el dominio de la frecuencia....

Cuando se trata de estructuras sometidas al tráfico de vehículos se va todavía más lejos, ya que la práctica tradicional utilizada en el diseño de puentes, y recogida en la normativa consiste en analizar la estructura desde el punto de vista estático con la carga situada en los puntos que se consideran más desfavorables. El carácter dinámico del problema se introduce a través de determinados "coeficientes de impacto'' que mayoran los efectos de la carga estática. De este modo se supone que las respuestas obtenidas corresponden a los valores máximos de las respuestas reales.

I.- CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ESTRUCTURAL

Definición de la acción dinámica

Una acción tiene carácter dinámico cuando su variación con el tiempo es rápida y da origen a fuerzas de inercia comparables en magnitud con las fuerzas estáticas. Algunas fuentes importantes de vibraciones estructurales son: sismos

viento

olas y corrientes de agua

explosiones e impactos

cargas móviles (vehículos, personas, etc.)

La definición de estas cargas externas puede distinguirse entre: determinista y no determinista, ésta última denominada también estocástica o aleatoria. Determinista: cuando su variación temporal es perfectamente conocida no determinista: cuando alguno o todos sus parámetros son definidos estadísticamente

En nuestro curso trabajaremos con cargas definidas en forma DETERMINISTA.

Respuesta dinámica cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga dinámica sobre la estructura

Una carga definida determinísticamente da origen a una respuesta, también determinista.

Acciones y fuerzas dinámicas

Las acciones dinámicas definidas utilizando representaciones deterministas, son funciones del tiempo cuyo valor en cada instante ES CONOCIDO.

Este tipo de representación es apropiado para evaluar el comportamiento de una estructura A POSTERIORI del acontecimiento que dio lugar a dicha acción. Por ejemplo, evaluar el comportamiento de un edificio nuevo ante el terremoto ocurrido en México en 1986 (del que se poseen registros). El diseño de una estructura NO PUEDE encararse en base a acciones deterministas, pues nada nos asegura que la acción estudiada volverá a repetirse.

Importancia de la masa en el problema dinámico

Aunque la carga varíe con el tiempo, la respuesta de una estructura varía radicalmente según la masa que vibra con ella. Ante una misma función de carga, una estructura SIN MASA y una CON MASA responden de la siguiente manera:

Velocidad de reacción de una estructura

Ante una acción exterior, distintas estructuras reaccionarán de formas diferentes. Esta respuesta está íntimamente relacionada con las formas o modos de vibrar y sus correspondientes frecuencias o periodos propios.

En el caso de un oscilador de 1 grado de libertad, este periodo propio se obtiene fácilmente. No así para estructuras de múltiples GLD. Como veremos en los capítulos siguientes, los periodos y formas de vibrar dependen de las características geométricas y de materiales (rigidez) y de la inercia que la estructura opone al movimiento (masa).

Modelos dinámicos característicos

Desde el punto de vista del cálculo numérico, obtener la respuesta dinámica de una estructura, es el resultado de "filtrar" la señal de excitación a través de la misma estructura y obtener las variaciones de las magnitudes de análisis (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, momentos, tensiones, etc.) respecto del tiempo.

La obtención de la respuesta requiere, previamente, la definición del movimiento del terreno (en caso sísmico) tanto como de las características estructurales del mismo y de la estructura propiamente dicha.

El análisis es practicado, no a la propia estructura sino a un modelo mecánico de la misma. La definición del modelo depende del tipo de estructura analizado y pretende brindar una serie de relaciones entre acciones y respuesta que describan un modelo matemático del problema.

Este modelo matemático puede ser resuelto mediante diversas técnicas. En nuestro caso haremos hincapié en los métodos numéricos de análisis.

Según la certeza con que fueron formulados los modelos y procedimientos o algoritmos de cálculo durante el análisis, será la precisión de la respuesta obtenida.

Se brindan, a continuación, algunas definiciones típicas del análisis estructural dinámico de una estructura:

Grados de libertad (GL): Se definen como grados de libertad (GL) a los puntos de la estructura en los cuales se identifica algún desplazamiento y permiten brindar una deformada de la estructura.

Grados de libertad dinámicos (GLD): Son los grados de libertad que tienen asociada masa y para los cuales puede conocerse las vibraciones o movimientos a lo largo del tiempo.

II.- SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

VIBRACIONES LIBRES

El oscilador viscoelástico de un grado de libertad

El oscilador viscoelástico de un grado de libertad se usa para representar sistemas estructurales sencillos desde el punto de vista dinámico.

Un ejemplo de este sistema es la pérgola de la figura 2.1, construida con columnas muy livianas que soportan una losa superior. En este ejemplo, se requiere conocer el movimiento de la losa cuando su base está sometida a un movimiento sísmico.

Para ello, se determina la variación del desplazamiento lateral u durante el movimiento sísmico y después de un cierto tiempo de finalizado el movimiento. Para evaluar la variación del desplazamiento en el tiempo se necesitan plantear una serie de hipótesis simplificatorias. La estructura se representa como un modelo ideal, cuyas propiedades pueden estudiarse y manipularse matemáticamente.

Fig. 2.1. Ejemplo de una estructura de un piso

En primer lugar se asume que la base de la estructura es fija y que la losa es indeformable.

Se considera que la losa sólo puede desplazarse horizontalmente, por lo tanto, basta con conocer el desplazamiento de uno de sus puntos para determinar la configuración deformada de la estructura. En este caso, se dice que el sistema tiene un grado de libertad.

Se examinan las distintas fuerzas que actúan sobre la losa de la estructura, y se considera que su movimiento es originado por una fuerza externa P(t) variable en el tiempo. La principal diferencia entre el análisis estático y el dinámico, es la intervención en el segundo caso de la fuerza de inercia. Esta fuerza actúa en sentido opuesto a la aceleración de la masa del sistema. Se asume que toda la masa de la estructura se encuentra concentrada en la losa.

Se considera que la estructura presenta un comportamiento elástico, es decir, si se le impone un desplazamiento lateral, se generan fuerzas de restitución o restitutivas proporcionales al desplazamiento, pero de sentido contrario. La constante de proporcionalidad entre la fuerza de restitución elástica y el desplazamiento lateral, se denomina rigidez lateral de la estructura k. En el ejemplo de la pérgola, la rigidez de la estructura es proporcionada íntegramente por las columnas.

Para completar el proceso de idealización de la estructura, se considera los mecanismos de disipación de energía. Si la estructura se encuentra en movimiento bajo la acción de algún agente externo que deje de actuar, el sistema continuará en movimiento durante algún tiempo con oscilaciones de amplitud decreciente, hasta llegar al reposo. En este caso, se dice que el movimiento es amortiguado.

Uno de los casos de vibraciones amortiguadas más sencillos de estudiar es el del amortiguamiento viscoso, caracterizado por fuerzas amortiguadoras proporcionales, pero de sentido opuesto a la velocidad del sistema.

2.2 Ecuación de movimiento

El diagrama de cuerpo libre de la losa de la pérgola, cuando presenta un desplazamiento u, una

velocidad u, y una aceleración ü. Se considera para este diagrama el sentido horizontal derecho como positivo.

Las fuerzas que actúan sobre la losa son:

Fuerza externa P (t)

Fuerza de inercia fI = -m ü(t)

Fuerza de amortiguamiento viscoso fA = -c u

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