Dinámica Poblacional

LA DINAMICA POBLACIONAL

La dinámica poblacional es el principal objeto de la biología matemática en general y de la ecología de poblaciones en particular. Tiene gran importancia en la gestión de los recursos biológicos, como las pesquerías, en la evaluación de las consecuencias ambientales de las acciones humanas y también en campos de la investigación médica relacionados con las infecciones y la dinámica de las poblaciones celulares. La dinámica poblacional esta desarrollado en función de el tiempo y el espacio, y está determinada por factores que actúan en el organismo, en la población y en el medio ambiente. Se refiere a la dispersión, a la densidad y al crecimiento.

El método utilizado para determinar la población en un problema está ligado a ciertas variables y para ello usamos la siguiente fórmula:

dx/dt=k x x(t)=X_0

Ejemplo

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta a una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en 5 años, ¿en cuánto tiempo se triplicara y cuadruplicara?

Ecuación diferencial para trabajar este ejercicio:

Ecuación de variables separables:

1/P dp/dt = k dp/dt=k P P(t)=P_0

Integramos a ambos lados

ln⁡〖p=K+C〗

Despejamos (P):

P(t)= 〖e^(k.t) e〗^(C )

Como (C) es una constante nuestra formula queda de la siguiente forma:

P(t)=C .e^(k.t)

Como en el ejemplo el tiempo inicial es (0) reemplazamos en la formula (t)=0

P_0=C .e^(k.(0)) C=P_0

Al reemplazar (0) en (t), podemos determinar el valor de (C) y lo reemplazamos en la formula anterior.

P(t)=P_0 .e^(k.t)

En el ejemplo nos menciona que la población en 5 años se duplico por lo tanto:

P(5)=2P_0

Procedemos ahora a averiguar K:

2P_0=P_0 .e^(k.(5))

2=e^((5).k)

Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

ln⁡2=5.k k=ln2/5 k=0,139

Al hallar el valor de k podemos reemplazarlo en la formula y procedemos a hallar los valores de las siguientes preguntas.

P(t)=P_0 .e^((0,139).t)

¿En cuánto tiempo se triplicará la población?

t=? P=3P_0 P=n.P_0

n.P_0=P_0 .e^((0,139).t) n=e^((0,139).t)

Aplicamos logaritmo natural en ambos lados para despejar (t).

ln⁡(n)=0,139(t) t=(ln⁡(3))/0,139 t=7,92

¿En cuánto tiempo se cuadruplicará la población?

t=(ln⁡(4))/0,139 t=10

Suponga que la población de la comunidad del ejemplo es de 10,000 después de 3 años, ¿Cuál era la población inicial? ¿Cuál será en 10 años?

t=3 P=10,000

P(t)=P_0 .e^((0,139).t) 10,000=P_0 .e^((0,139)(3))

Despejamos (Po)

P_0=10,000/e^((0,139)(3)) P_0=6,597.54

Ahora procedemos a averiguar cuál será la población en 10 años.

t=10 P=?

P=10,000 .e^((0,139)(10)) P=26,488.13

EJERCICIO PARA HACER EN CLASE

La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta al 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años?

P_0=500 t=0

P=575 t=10

dp/dt=k P P(t)=P_0 .e^(k.t)

575=500 .e^(k.t) 575/500=e^(10)k

ln⁡(1.15)=(10)k k=1/10 ln⁡(1.15) k=0,013976

P(t)=500

...