Distribucion Multinominal

Distribuciones multinomiales de probabilidad

Si un vector de probabilidades p = (p1, p2,...., pk) caracteriza una distribución de probabilidad desconocida de una variable X en el vector de clases o grados de libertad Ω = {ω1, ω2,..., ωk} donde cada pi = px({ωk}) > 0 es la probabilidad de ocurrencia de la clase i y con la condición de que Σpi = 1, y si igualmente, el vector n = (n1, n2,....,nk) es una distribución de eventos relacionados a un vector de clases Ω en donde ni denota el número de observaciones que se asignan a la clase ωl y en la cual nk denota el número de observaciones para cada ωk en una muestra aleatoria de tamaño N; en general una variable X puede ser representada mediante una distribución multinomial, si se hace equivaler el vector de probabilidades p al vector de frecuencias observadas f = (f1, f2,..., fk), estimando cada fk como fk= ni/N. Con lo anterior se asume, entonces, que f es el vector que define las propiedades de la población (Masson y Denoeux, 2006).

Lo que se propone en este papel, y siendo consonantes con las ideas de Masson y Denoeux (2006), es que si X es una variable aleatoria hidrológica se considera factible que se represente mediante una función de probabilidad del tipo multinomial como la que se describe. En la Figura 1 se representan esquemáticamente una distribución multinomial y sus parámetros.

La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:

Donde:

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)

n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)

n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

p1: es la probabilidad del suceso X1

Características:

a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Este modelo se puede ver como una generalización del Binomial en el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.

Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores distintos: A1, A2, ..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2, ..., pr, respectivamente.

Si repetimos la experiencia n veces en condiciones independientes, podemos preguntarnos la probabilidad de que el suceso A1 aparezca k1 veces, el suceso A2, k2 veces y así sucesivamente:

Al modelo estadístico que nos da dicha probabilidad se le denomina Multinomial, y su función de densidad viene dada por:

como se ve, el modelo Multinomial queda definido por los parámetros (n, p1, p2, ..., pr). La fórmula anterior puede deducirse de forma análoga al caso Binomial. En realidad, si tomamos r = 2 tenemos exactamente el modelo Binomial.

Se debe destacar que este modelo

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