ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSONES

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UNIVERSIDAD AUTONOMA JUAN MISAEL SARACHO

FACULTAD CIENCIAS Y TECNOLOGIA

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ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSONES

INTRODUCCION

 recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre- Simon Laplace.

La ecuación de Laplace en dos dimensiones es:

  +  = 0[pic 20][pic 21]

Donde f  = f ( x , y ) es una función de las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, la ecuación de Laplace en dos dimensiones es muy importante en las teorías de flujos por ejemplo en las teorías del flujo de un fluidoy de la conducción térmica.

Esta ecuación en dos y tres dimensiones surge en problemas como anteriormente mencionado en problemas independientes del tiempo que conciernen a potenciales como el electrostático, gravitacional y la velocidad en mecánica de fluidos la ecuación de Laplace en dos y tres dimensiones también se abrevia :

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Donde:

  + [pic 23][pic 24]

Se llama respectivamente laplaciano en dos dimensiones.

EJEMPLO DE ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES EN FLUJO DE FLUIDO

Flujo de fluido

Sean las cantidades u y v las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e ir rotacional en dos dimensiones. LA condición de que el flujo es incompresible es que

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y la condición de que el flujo es ir rotacional es que

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Si definimos el diferencial de ψ como

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entonces la condición de incompresibilidad es la condición de integralidad para este diferencial: la función resultante se llama función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo. Las primeras derivadas de ψ son

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y la condición de irracionabilidad establece que ψ satisface la ecuación de Laplace. La función armónica φ que es el conjugado de ψ se denomina potencial de velocidad. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que

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Así, para cada función analítica corresponde a un flujo de fluido incompresible estacionario e ir rotacional en el plano. Las parte real es el potencial de velocidad, y la parte imaginaria es la función de corriente.

EJEMPLO DE ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES EN ELECTROSTÁTICA

Electrostática

De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell, un campo eléctrico (u,v) en un espacio de dos dimensiones que es independiente del tiempo satisface

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donde [pic 31] es la densidad de carga. La primera ecuación de Maxwell es la condición de integralidad para el diferencial

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