ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSONES

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

UNIVERSIDAD AUTONOMA JUAN MISAEL SARACHO

FACULTAD CIENCIAS Y TECNOLOGIA

              [pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSONES

INTRODUCCION

 recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre- Simon Laplace.

La ecuación de Laplace en dos dimensiones es:

  +  = 0[pic 20][pic 21]

Donde f  = f ( x , y ) es una función de las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, la ecuación de Laplace en dos dimensiones es muy importante en las teorías de flujos por ejemplo en las teorías del flujo de un fluidoy de la conducción térmica.

Esta ecuación en dos y tres dimensiones surge en problemas como anteriormente mencionado en problemas independientes del tiempo que conciernen a potenciales como el electrostático, gravitacional y la velocidad en mecánica de fluidos la ecuación de Laplace en dos y tres dimensiones también se abrevia :

[pic 22]

Donde:

  + [pic 23][pic 24]

Se llama respectivamente laplaciano en dos dimensiones.

EJEMPLO DE ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES EN FLUJO DE FLUIDO

Flujo de fluido

Sean las cantidades u y v las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e ir rotacional en dos dimensiones. LA condición de que el flujo es incompresible es que

[pic 25]

y la condición de que el flujo es ir rotacional es que

[pic 26]

Si definimos el diferencial de ψ como

[pic 27]

entonces la condición de incompresibilidad es la condición de integralidad para este diferencial: la función resultante se llama función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo. Las primeras derivadas de ψ son

[pic 28]

y la condición de irracionabilidad establece que ψ satisface la ecuación de Laplace. La función armónica φ que es el conjugado de ψ se denomina potencial de velocidad. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que

...