Sistema de ecuaciones con dos incognitas

DOSIER #3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS INCOGNITAS

En una práctica de laboratorio se necesita realizar una disolución de agua oxigenada para usar en las peluquerías, capaz de aclarar el color de cabello sin dañarlo, para esto se tienen dos recipientes, uno con 8 litros de peróxido de hidrógeno (H2O2) y otro con 6 litros de agua destilada (H2O). Al mezclar ambos líquidos se debe obtener una disolución de 7 litros que contenga un 40% de peróxido de hidrogeno y un 20% de agua destilada y una concentración total de 2.2. ¿Cuántos litros (L) de agua destilada y de peróxido de hidrógeno se necesitan para la disolución?

Solución:

1. Identificar variables: En la situación nos piden hallar la cantidad de agua destilada y de peróxido de hidrogeno que se necesita para la disolución, por lo que realizamos lo siguiente:

[pic 1]

[pic 2]

1. Expresar todas las cantidades desconocidas en términos de la variable:

1. Establecer un sistema de ecuaciones: Los 7 litros de disolución deben ser el total de los litros de la mezcla:

[pic 3]

Y la cantidad de agua destilada, el peróxido de hidrogeno y la concentración total de la mezcla:

[pic 4]

1. Resolver el sistema: Primero despejaremos y en la primera ecuación y obtenemos:

[pic 5]

Ahora reemplazamos este valor de y en la segunda ecuación y resolvemos:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Sustituimos este valor de x en la primera ecuación y obtenemos:

[pic 11]

                                                                      [pic 12]

                                                                         [pic 13]

1. Por lo tanto, se deben mezclar 4 litros de peróxido de hidrogeno y 3 litros de agua destilada para obtener la disolución deseada.

Sistema con una solución:

En este caso, el sistema tiene una sola solución ya que hay dos ecuaciones con dos incógnitas (x, y) y ambas son ecuaciones lineales que se encuentran en el mismo plano, lo que significa que pueden llegar a cruzarse en un solo punto, por lo que existe un valor en x y en y que satisface amabas ecuaciones simultáneamente.[pic 14]

Sistema que no tiene solución:

Igualamos los porcentajes de agua destilada y de peróxido de hidrogeno de la disolución:

[pic 15]

[pic 16]

Para resolver la ecuación vamos a utilizar el método de eliminación, para eso vamos a multiplicar toda la segunda ecuación por 5 para eliminar los decimales, y obtenemos:

[pic 17]

[pic 18]

Restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos:

[pic 19]

Al igualar ambos porcentajes de agua destilada y del peróxido de hidrogeno en la disolución, observamos que el sistema no tiene solución, debido a que las dos ecuaciones representan dos rectas paralelas y como no se interceptan, no hay ningún punto en donde se satisface a ambas ecuaciones.

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