ECUACION DEL COSTO MÍNIMO

Ecuación del costo mínimo

Un punto primordial en el diseño de canales revestidos es el costo de material de revestimiento y el desarrollo de las dimensiones del canal que minimicen este costo (optimización).

Al realizarse estudios de los factores que intervienen en el costo de construcción de un canal (volumen por excavar y superficie por revestir), que dependen de la sección transversal, es posible que el diseño salga de distinto modo. Mediante ecuaciones, se puede plantear y resolver el problema de encontrar la menor superficie ha ser revestida para conducir un gasto dado, conocida la pendiente; pero se obtienen los mismos cálculos cuando consideramos los costos de excavación.

En la historia, se han propuesto distintos modelos de optimización que buscan diseñar la mejor sección para canales de conducción (óptimo económico).

[pic 1][pic 2]

Tabla 1: Antecedentes de optimización de costos en diseño de canales.

A partir de los modelos iniciales se han ido mejorando los cálculos considerando cada vez más factores y computarizando esta data para obtener resultados rápidos y confiables. Debido a esto la metodología de trabajo que se emplea en los modelos de optimización consiste en la etapa de modelamiento y la etapa de programación. Para esta etapa de modelamiento se ha considerado canales revestidos y no revestidos, que detallan dos distintos casos en diseño de canales.

• Cuando el canal no es revestido, la sección hidráulica óptima corresponde a la sección más económica en lo que a excavación se refiere. La suma de los volúmenes de excavación de la plataforma y caja debe ser mínima para canales no revestidos.
• Cuando el canal es revestido, en el diseño se considera el costo del material de revestimiento y el desarrollo de las dimensiones del canal que minimicen este costo. El costo de revestimiento está en función del volumen del material de revestimiento el cual a su vez es función del espesor y de la magnitud del perímetro mojado.[pic 3][pic 4]

Figura 1: Canal Peral Norte- Nicaragua                Figura 2: Canal Chongon- Ecuador        

Los parámetros que intervienen en el costo de construcción del canal son el volumen por excavar de la plataforma y la superficie por revestir, de estos se puede obtener una relación b/y, que nos proporciona una solución de menor costo, siendo esta alternativa la óptima. El problema para hallar la mejor solución se reduce a encontrar la relación b/y óptima que nos permita minimizar el costo total. De los modelos presentados anteriormente, tres de ellos lograron diseñar algoritmos que buscan la relación b/y para la optimización económica.

[pic 5]

Tabla 2: Principales algoritmos de optimización de la variable b/y

El algoritmo de sección de máxima eficiencia solo permite su uso cuando se considera que el canal se reviste con un material de espesor uniforme, encontrando serios problemas cuando el espesor del revestimiento cambia proporcionalmente con el perímetro mojado.

El algoritmo de Swamee logró diseñarse para el cálculo de un área mínima, o lo que es lo mismo, una velocidad máxima de flujo. Para esto, marco énfasis en las variables de diseño de las distintas secciones del canal. En colaboración con Mishra y Charar (2000-2001), lograron plantear el algoritmo de Swamee considerando el menor costo de movimiento de tierras y el costo del terraplén que varía directamente con la profundidad de la excavación. Se lograron obtener ecuaciones explícitas aplicando una optimización no lineal.

[pic 6]

Tabla 3: Ecuaciones explícitas del algoritmo de Swamee

Debido a que, en el planteamiento de problemas a desarrollar en el curso, no ponemos énfasis en los costos de movimiento de tierras (excavación), colocación y construcción; descartamos el uso del algoritmo de Swamee, enfocándonos en los canales de largas secciones, donde los costos de construcción son relativamente menores al material de revestimiento.

Algoritmo de Trout

En 1982, Thomas Trout examinó el problema de la optimización del costo de revestimiento cuando esté no era el mismo en el fondo del canal que en los taludes. Se realizó el estudio para canales triangulares, trapeciales y rectangulares.

En el dimensionamiento de canales revestidos, el parámetro más importante es el factor de sección, que es obtenido a partir de una distribución distinta de la ecuación de Manning. [pic 7]

Figura 4: Ecuación del factor de sección

Donde las variables presentadas son conocidas con antelación en el diseño de canales con tirante normal.

• z=talud
• b=ancho de fondo
• y=tirante
• S=pendiente del canal
• n=coeficiente de Maninng
• Q=gasto de diseño
• Ø=constante (1.00 en el sistema métrico)

La solución implícita para el tirante se obtiene de un reordenamiento de la ecuación del factor de sección. Si se obtienen los datos de b/y y z, entonces es posible el cálculo de y, y explicitamente b, obteniendo la solución de diseño óptimo.

[pic 8]

Figura 5: Ecuación implícita del tirante normal

Para el caso específico de la sección hidraúlica óptima de un canal trapezoidal, Trout desarrolló la relación de b/y ya conocida insertandola en su ecuación implícita del tirante normal.

[pic 9]

Figura 6: Ecuación implícita del tirante normal para la BHS de un canal trapezoidal

Recordamos que la sintáxis para este algoritmo es que costo del revestimiento esta en función del volumen de material usado. Entonces, si tenemos el material de revestimiento, el costo del mismo esta en función de la suma del perímetro mojado más el borde libre (y el material usado en los bordes del canal). Este cálculo se puede reemplazar como la suma de los costos de material del fondo del canal con los costos de material de los taludes, los cuales Trout demostró que pueden ser calculados independientemente a través de las siguientes ecuaciones.

...