Solución de ecuaciones diferenciales

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

dy/dx=e²ˣ+y-1

dy=(e^2+y-1)dx

⏟((e^2+y-1) ) dx⏟(-) dy=0

m_y=1 n_x=0 No es exacta.

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dy/dx=2xy=x

m=e^∫▒2xdx=e^(x^2 )

e^(x^2 ) dy/dx+2xye^(x^2 )=xe^(x^2 )

∫▒〖d/dx(e^(x^2 ).〗 y)ˈ=∫▒x e^(x^2 ) dx

e^(x^2 ) y= 1/2 e^(x^2 )+c

y= 1/2 e^(x^2 )/e^(x^2 ) +c/e^(x^2 )

y= 1/2+ce^(〖-x〗^2 )

5. Resuelva por el método de homogéneas la siguiente ecuación diferencial

2x³ydx+(x^4+y^4 )dy=0

Decimos que. y=vx dy=vdx+xdv y/x=v

2x^3 vxdx+(x^4+v^4 x^4 )(vdx+xdv)=0

2x^4 vdx+vx^4 dx+v^5 x^4 dx+x^5 dv+v^4 x^5 dv=0

x^5 dv+v^4 x^5 dv=-2x^4 vdx-vx^4 dx-v^5 x^4 dx

x^5 (1+v^4 )dv=-x^4 (2v+v+v^5 )dx

(1+v^4)/(3v+v^5 ) dv= 〖-x〗^4/x^5 dx

∫▒〖(v^4+1)/(v^5+3v) dv〗=-∫▒1/x dx

(v^4+1)/(〖v(v〗^4+3))=A/V+(Bv^3+cv^2+Dv+E)/(v^4+3)

v^4+1=A(v^4+3)+(Bv^3+cv^2+dv+E)

v^4+1=Av^4+3A+Bv^4+cv^3+Dv^2+Ev

v^4+1=(A+B) v^4+cv^3+Dv^2+Ev+3A

A+B=1 C=0 D=0 E=0 3A=1 A= 1/3 B=1-1/3=2/3

∫▒〖((1/3)/v〗+(2/3 v^3)/(v^4+3))dv=-∫▒1/x dx

1/3 ln|v|+1/6 ln|v^4+3|=-ln|x|+c

1/6 (2ln|v|+ln|v^4+3| )=-ln|x|+3

ln|v|²+ln|v^4+3|=-6ln|x|+c

ln|v^2 (v^4+3)|=-ln|x|^6+c

ln|y^2/x^2 (y^4/x^4 +3)|=-ln|x|^6+c

6. Se coloca la suma de $100 a interés del 5% anual con la condición de que los intereses podrán sumarse al capital en cualquier momento. ¿Cuántos años se necesitan para que la cantidad colocada sume $200?

c(t)=c_0 (1+int/(100.k) )^(k.t)

k=1 anual

c(t)=c_0 (1+5/100 )^t

c(t)=100(1+0.05)^t

c(t)=100(1,05)^t

200=100(1,05)^t

200/100=(1,05)^t

2=(1,05)^t

ln⁡(2)=t ln⁡(1,05)

t= (ln⁡(2))/(ln⁡(1,05))=14,206≈15 años.

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

dy/dx=e²ˣ+y-1

dy=(e^2+y-1)dx

⏟((e^2+y-1) ) dx⏟(-) dy=0

m_y=1 n_x=0 No es exacta.

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dy/dx=2xy=x

m=e^∫▒2xdx=e^(x^2 )

e^(x^2 ) dy/dx+2xye^(x^2 )=xe^(x^2 )

∫▒〖d/dx(e^(x^2 ).〗 y)ˈ=∫▒x e^(x^2 ) dx

e^(x^2 ) y= 1/2 e^(x^2 )+c

y= 1/2 e^(x^2 )/e^(x^2 ) +c/e^(x^2 )

y= 1/2+ce^(〖-x〗^2

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