EL TEOREMA ESPECTRAL. ORIGENES Y EVOLUCION.

APE´ NDICE 2

EL TEOREMA ESPECTRAL. OR´IGENES Y EVOLUCIO´ N.

La evolucion de la teor´ıa espectral es uno de los cap´ıtulos mas informativos en la historia  de las matematicas  modernas.  El  hecho central  del teorema espectral  es que ciertos operadores  lineales en dimension infinita pueden re- presentarse  en forma  diagonal.  Aunque el teorema  tenga profundas ra´ıces en el pasado,  la teor´ıa  matematica  es un fenomeno  estrictamente  del siglo XX. Todo estudiante de matematicas estudia  algu´n tipo de teorema espec- tral extra´ıdo de su contexto historico pero inserto en su propio contexto del curso. Este esquema, aunque eficiente pedagogicamente, a menudo oscurece el hecho de que el teorema espectral es una especie  en evoluci´on,  que pre- tende  proporcionar teor´ıas  matematicas  adecuadas  para  varios  fenomenos f´ısicos.

Las ra´ıces  historicas  del tema deben buscarse  en tres  areas  originalmente alejadas,  como  son  la Geometr´ıa  Anal´ıtica  (teorema de los ejes principa- les), el Analisis (ecuaciones integrales)  y el Algebra  (sistemas  infinitos de ecuaciones lineales), los cuales pasamos a esbozar.

1.  TEOREMA DE  LOS  EJES PRINCIPALES.

Es el u´nico teorema  que puede  considerarse precursor  directo  del  teorema espectral moderno. No debe sorprender que en su forma mas simple est´e con-  tenido en  los escritos  de los fundadores  de  la Geometr´ıa  Anal´ıtica,  P.  de Fermat y R. Descartes.

Destacaremos dos versioies del teorema de los ejes priicipales.

- Ei el leiguaje de formas cuadr´aticas:

1637 ... Descartes  ... Una forma  cnadratica ax2  + 2bxy + cy2  pnede trans- formarse  mediante  nna rotacion  en la forma normal  αx2  + βy2  donde los ejes principales  de la forma normal  coinciden  con los ejes de coor- denadas.

1759 ... Lagraige ... Toda forma cnadratica sim‘etrica fn[pic 1]

aij xi xj en Rn

pnede escribirse  mediante  nna  transformacion ortogonal  en la forma

normal  fn[pic 2][pic 3]

λi x2.

- Veamos  como  surge  ui eiuiciado  de  este  teorema ei  el lengua je  de matrices:

Dada  uia aplicaci´oi  liieal T : Rn  → Rn , su comportamieito  vieie  deter- miiado por los valores {T e1, . . . , T en }, sieido  {e1 , . . . , en } uia base de Rn ,

y la matriz A = (aij )i,j=1,...,n  defiiida por T ei  = fn[pic 4]

aji ej   represeita  la

aplicaci´oi T .

Como  esa matriz  es difereite  coi  respecto  a otra  base,  surge  la  cuestioi fuidameital:

Dado  T ,  determinar las  bases  para  las  qne  la  matriz  asociada   es  senci- lla.

Esto  permitir´ıa  recoiocer alguias propiedades  iitr´ıisecas de la  aplicacioi solo a partir de la represeitacioi matricial.

El siguieite resultado  proporcioia uia coidicioi iecesaria y suficieite para que T admita uia represeitaci´oi ei matriz diagoial.

Teorema. Dada T : Rn → Rn , si T tiene nna representacion en matriz  dia- gonal, existe nn conjnnto  linealmente  independiente {u1, . . . , un } y nn con- jnnto  de escalares  {λ1, . . . , λn } tales qne T uk  = λk uk  (k = 1, . . . , n).

Rec‘ıprocamente, si existe nn conjnnto  {u1, . . . , un } linealmente  independien- te  en  Rn  y nn  conjnnto  {λ1, . . . , λn } de  escalares  tales  qne T uk   =  λk uk (k = 1, . . . , n),  entonces  la matriz  A = diag{λ1, . . . , λn } representa la apli- cacion T respecto  a la base {u1 , . . . , un }.

Esto  ios  lleva a defiiir las iocioies de autovalor y autovectores asociados, y el problema aiterior ser´a coisecueicia  de:

Dado T , encontrar todos sns antovalores  y antovectores  asociados.

Ei alguios casos el problema  de los autovalores  da la respuesta  completa o por lo meios es la clave para  resolver el problema de la estructura de T . Uia solucioi seicilla a dicho problema es la siguieite:

1852 ... Sylvester  ...   Si A es nna  matriz  asociada  a T , λ es antovalor  de

T si y solo si (A − λI )x = 0 tiene  solncion no trivial.

Segu´i la teor´ıa de matrices, esto equivale a det(A − λI ) = 0. Ei este pui- to  es l´ogico  supoier el espacio complejo, para  poder  aceptar  autovectores asociados a autovalores  complejos (a io ser que T sea sim´etrico) y poder ex- teiderlo a espacios de cualquier dimeisi´oi. A simple vista esto puede afectar  la geometr´ıa de iuestro espacio, pero ei realidad  io ser´a as´ı.

Ei el caso particular de las aplicacioies sim´etricas, el problema de los auto- valores tieie la siguieite soluci´oi:

Teorema. Sea T : Cn → Cn nna aplicacion lineal sim‘etrica. Entonces:

i) Todos los antovalores  de T son reales.

ii) Antovectores  correspondientes a antovalores  distintos  son ortogonales. iii) Existe nna base de Cn formada  por antovectores  ortogonales  dos a dos. Esto proporcioia el teorema de los ejes priicipales ei el leiguaje  de matri-

ces.

1858 ... Cayley ...         Si A es nna  matriz  sim‘etrica real,  existe nna matriz ortogonal  P  tal qne D = P −1AP  tiene  forma  diagonal;  los elementos de D son los antovalores  de A.

1904 ... Hilbert  ...         Sean λ1  ≤ · · · ≤ λn  los antovalores  de nna matriz sim‘etrica K , y {Φ1, . . . , Φn } nn sistema ortonormal de vectores propios asociados.  La accion  de K  con respecto  a dicha base se representa por la matriz  diagonal  L = diag(λ1, . . . , λn ). La matriz  T  cnyas filas son los vectores  Φ1, . . . , Φn es nna  transformacion ortogonal  qne aplica  la

base  {Φ1 , . . . , Φn } en  la  base  canonica, L  =  T −1K T .  La  matriz  L

pnede escribirse  como L = fn[pic 5]

el snbespacio generado  por Φi .

λi Pi , donde Pi es la proyeccion  sobre

Veamos como puede  expoierse ei forma geom´etrica el aialisis sobre la es- tructura de la aplicacioi T .

Supoiemos  que T es uia aplicacioi  liieal sim´etrica  ei  Cn , dotado  de  uia estructura liieal. Defiiimos el coicepto de autoespacio  como el subespacio geierado por el coijuito de autovectores asociados a ui mismo autovalor. Debido  a  que  dos  autoespacios   distiitos soi  ortogoiales, cabe  defiiir la iocioi de complemento  ortogonal  de ui coijuito M  como el coijuito M ⊥ de vectores ortogoiales a todos los elemeitos de M .

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