ESTADISTICA INFERENCIAL Y PRUEBA DE HIPOTESIS

UNIDAD IV: ESTADISTICA INFERENCIAL Y PRUEBA DE HIPOTESIS

ESTADISTICA INFERENCIAL

La inferencia estadística es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra). La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticos, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto.

La estadística inferencial comprende:

1.-La Teoría de muestras.

2.-La estimación de parámetros.

3.-El Contraste de hipótesis.

4.-El Diseño experimental.

5.-La Inferencia bayesiana.

Método

Un estudio estadístico comprende los siguientes pasos:

1.-Planteamiento del problema

2.-Elaboración de un modelo

3.-Extracción de la muestra

4.-Tratamiento de los datos

5.-Estimación de los parámetros

6.-Contraste de hipotesis

7.-Conclusiones

Estimación puntual

Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado(ausencia de sesgos) y estable en el muestreo (varianza mínima).

Distribucion de muestras

Si X1, X2 ... Xn, es una muestra aleatoria de tamano n tomada de una poblacion (finita o no infinita) son media (M) y varianza finita y si es la media muestral, entonces la forma limite de la distribucion Z cuando n tiende infinito es una distribucion normal estandar:

La aproximacion normal depende del tamano de la muestra

Si n ≥ 30 , se puede aplicar el TLC, para una poblacion con cualquier tipo de distribucion de probabilidad.

Diferencia de medias

Sean 2 poblaciones con medias M1 y M2, y varianzas conocidas

condicion:

Muestra debe ser n ≥ 30

Distribucion de T

En probabilidad y estadística, la distribución-t o distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema deestimar la media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base del popular test de la t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianzapara la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

La distribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Aparición y especificaciones de la distribución t

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientesdistribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral y

la varianza muestral. Entonces, está demostrado que tiende a la distribución normal de media 0 y varianza 1 cuando n tiende a infinito.

Gosset estudió una expresión relacionada, si es menor, debemos tener la confianza de que la poblacion se distribuye de manera normal.

Distribucion de ji-cuadrada

En estadística, la distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria:

donde Zi son variables de distribución normal, de media cero yvarianza uno. Esta distribución se expresa habitualmente

Donde el subíndice k de , es le número de sumandos, se denomina grados de libertad de la distribución. Se suele usar la denominada prueba ji-cuadrado como test de independencia y como test de bondad de ajuste. si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2.Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico: donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.

El estadistico de Ji cuadrada es el siguiente:

Distribucion F

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

donde:

1.-U1 y U2 siguen una distribución ji-cuadrada con d1 y d2 grados de libertad respectivamente.

2.-U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Intervalos de confianza

Se llama intervalo de confianza en estadística a un intervalo de valores alrededor de un parámetro muestral en los que, con una probabilidad o nivel de confianza determinado, se situará elparámetro poblacional a estimar. Si α es el error aleatorio que se quiere cometer, la probabilidad será de 1 − α. A menor nivel de confianza el intervalo será más preciso, pero se cometerá un mayor error.

Para comprender las siguientes fórmulas, es necesario conocer los conceptos de variabilidad del parámetro, error, nivel de confianza,valor critico y valor α.

Un intervalo de confianza es, pues, una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza 1-α.

Al ofrecer un intervalo de confianza se da por supuesto que los datos poblacionales se distribuyen de un modo determinado. Es habitual que lo hagan mediante la distribución normal.

Ejemplos

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomarmuestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente Grande, las medias muestrales tienden a una distribución normal (o gaussiana) con dicha media y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

Si estandarizamos:

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95% y 99%. A este valor se le llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o mejor dicho su versión estandarizada Zα / 2— junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Z − α / 2 = − Zα / 2

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:

Resultado el intervalo de confianza:

Si σ no es conocida y n es grande (p.e. ≥ 30):

donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor Zα / 2 para los niveles de confianza estándar son 1,96 para 1 − α = 95% y 2,576 para 1 − α = 9.

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Objetivo de la prueba de hipótesis

El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro.

Procedimiento para prueba de hipotesis

1.- Identificar el parametro de interes (para probar parametros se hacen estimaciones por medio de la muestra).

2.- Establecer Hipotesis Nula.

3.- Establecer una apropiada Hipotesis Alternativa.

4.- Seleccionar el nivel de significancia (α).

5.- Establecer un parametro de prueba apropiada (Z,t, ji cuadrada, F).

6.- Establecer region de rechazo (critica).

7.- Calcular las cantidades muestrales y sustituirlos en los estadisticos de prueba (z,t, ji cuadrada, f) y encontrar los calculos.

8.- Decide si se debe rechazar hipotesis.

9.- Conclusion.

Criterios de rechazo

Ho-si Z* <>

1.-si Z* > Zα

2.-si Z* <>

Tipos de prueba

a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad

Ejemplo:

H0 : µ = 200

H1 : µ ≠ 200

b) Pruebas unilateral

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