Ecuaciones Homogeneas

Ecuaciones Homogéneas

Presentado a:

Lic. Sandra Lora

Presentado por:

Elen Contreras Escobar

Sebastian Estrada Contreras

Universidad de la Costa

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ciencias Básicas

Ecuaciones Diferenciales

Grupo AD1

Barranquilla

2014

Ecuaciones Homogéneas

Antes de hablar de ecuaciones homogéneas, es necesario definir algunos conceptos previos, que tienen que ver con funciones homogéneas.

Funciones Homogéneas

Una función es homogénea si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea.

En otras palabras, si una función f tiene la propiedad , para algún número real n, entonces se dice que es una función homogénea de grado n.[pic 1]

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ecuaciones Homogéneas

Una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial                , se dice que es homogénea si ambas funciones coeficientes M y N son ecuaciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, una ecuación es homogénea si:[pic 17]

     y       [pic 18][pic 19]

Además, si M y N son funciones homogéneas de grado n, podemos escribir:

     y               donde        [pic 20][pic 21][pic 22]

y

     y               donde        [pic 23][pic 24][pic 25]

Método de Solución

Para resolver una ecuación homogénea hacemos una sustitución algebraica, ya sea  o , al cambiar de variablar, tambien debemos cambiar también su diferencial:[pic 26][pic 27]

[pic 28]

Esta sustitución nos convierte la ecuación en una ecuación de variables separables, separamos variables, integramos y volvemos a la variable inicial.

Una ecuación de la forma , se puede reescribir como:[pic 29]

     o bien     [pic 30][pic 31]

Donde  o . Sustituyendo la diferencial  en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ecuación diferencial separable en las variables u y x:[pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Luego, se resuelve como una ecuación diferencial de variables separables.

Cualquiera de las dos sustituciones nos llevara al mismo resultado, pero es recomendable escoger aquella variables cuyo coeficiente diferencial es mas sencillo.

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