ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II

BREVE REFERENCIA HISTORICA

El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (Alemán, 1646-1716) independientemente y simultáneamente con Newton (Ingles, 1642 -1727) fueron unos de los grandes descubridores del cálculo diferencial y el cálculo integral, primero en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, separables, homogéneas y lineales.

Para resolver una ecuación diferencial homogénea, primero tenemos que:

Verificar si la ecuación es homogénea y que grado tiene.

Después de eso tenemos que sustituir algunas de las variables.

Factorizar y eliminar los términos semejantes, dejando así una ecuación de variable separable.

Separar cada derivada con su función y después integrar.

Paso 1:

Diremos que a partir de la siguiente ecuación diferencial:

M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea

Si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

f(λx, λy)= λn f(x,y)

n: grado de la ecuación

Ejemplo:

Sea ƒ(x, y) = x^2 - xy es homogénea ya que f(λx, λy)=( λx)2 – (λx)( λy) = λ2 f(x,y) y es de grado 2

Sea ƒ(x, y) = x^3-x^2 seny no es homogénea ya que f(λx, λy) = (λx)3 – (λx)2sen(λy) = λ2 (λx3 – x2sen(λy) ) ≠ λn f(x,y).

OTRO METODO; SUMA DE EXPONENTES PARA SABER SU HOMOGENEIDAD

Este método es más sencillo pero necesita ser más atento y conocer bien las propiedades de los exponentes.

Ejemplo: y^2 = 2do grado

(y^2 + xy) dx + x^2 dy = 0 x^1 y^1= 2do grado

x^2 = 2do grado

Paso 2:

CAMBIO DE VARIABLE

Lo que haremos a continuación es sustituir alguno de los términos “x” o “y” por las ecuaciones en “u”. A continuación algunos ejemplos:

Y = u x su solución es dy = udx + xdu

U = x + y su solución es dy = du - dy

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS EN LA ECONOMIA

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

A continuación un ejemplo de EDH en la Economía

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 − 2p (t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) +4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0

Solución:

El precio p(t) está determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es:

48 − 2p(t) + 3p (t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado:

P (t) = 6 + 4e

Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Ames López Tania Prof.Edgar López Salvatierra

Luque Ticllahuanaco Yenny RESPONSABLE GENERAL

ALUMNAS EXPOSITORAS

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