Ecuaciones cuadráticas

MATEMÁTICAS 3º ESO 􀂄 39

Antes de empezar.

1.Expresiones Algebraicas …………….. pág. 42

Identidad y ecuación

Solución de una ecuación

2.Ecuaciones de primer grado….….…. pág. 44

Definición

Método de resolución

Resolución de problemas

3.Ecuaciones de segundo grado …..… pág. 46

Definición. Tipos

Resolución de ax²+bx=0

Resolución de ax²+c=0

Resolución de ax²+bx+c=0

Suma y producto de las raíces

Discriminante de una ecuación

Ecuación (x-a)·(x-b)=0

Resolución de problemas

Ejercicios para practicar

Para saber más

Resumen

Autoevaluación

Actividades para enviar al tutor

Objetivos

En esta quincena aprenderás a:

• Identificar las soluciones de

una ecuación.

• Reconocer y obtener

ecuaciones equivalentes.

• Resolver ecuaciones de primer

grado

• Resolver ecuaciones de

segundo grado tanto

completas como incompletas.

• Utilizar el lenguaje algebraico

y las ecuaciones para resolver

problemas.

3 Ecuaciones de segundo grado

40 􀂄 MATEMÁTICAS 3º ESO

MATEMÁTICAS 3º ESO 􀂄 41

Antes de empezar

Ecuaciones de segundo grado

Llamamos x a la cantidad buscada:

x x x x

21

4 5 6 2

15 x 12 x 10 x 1260 30 x

60 60 60 60 60

7 x 1260 x 180

+ + − =

+ + − =

= → =

¿Cuánto te costó esa radio?

Un cuarto, más un quinto,

más un sexto, menos 21

euros fue la mitad de todo.

42 􀂄 MATEMÁTICAS 3º ESO

1. Expresiones algebraicas

Identidad y Ecuación.

Una igualdad algebraica esta formada por dos

expresiones algebraicas separadas por el signo igual

(=).

• Cuando la igualdad es cierta para algún valor

de las letras se llama ecuación.

• Si la igualdad es cierta para cualquier valor de

las letras se llama identidad.

Solución de una ecuación

El valor de la letra que hace que la igualdad se

verifique se llama solución de la ecuación.

Resolver una ecuación es encontrar la solución ó

soluciones.

Una ecuación se llama compatible si tiene solución.

Si no tiene solución se llama incompatible.

Dos o más ecuaciones que tienen las mismas

soluciones se llaman equivalentes.

Ecuaciones de segundo grado

Identidad: 2(x + 1) = 2x + 2

Observa que se verifica para cualquier

valor de x:

x 0; 2(0 1) 2 2(0) 2

x 1;2(1 1) 4 2(1) 2

x 2;2(2 1) 6 2(2) 2

= + = = +

= + = = +

= + = = +

Ecuación: x + 1 = 2

Observa que se verifica sólo para x=1

x 1;1 1 2

x 2;2 1 3#2

x 3;3 1 4#2

= + =

= + =

= + =

x + 5 = 8 es una ecuación

compatible tiene por única

solución x=3

x + 1 = 4 es una ecuación

compatible tiene por única

solución x=3

Las dos ecuaciones son

equivalentes

x2 = −1 es una ecuación

incompatible, no tiene solución,

ningún número elevado al

cuadrado puede ser negativo

Ecuaciones equivalentes a

x + 5 = 8

x + 7 = 10 se obtiene sumando 2

x + 5 + 2 = 8 + 2→x + 7 = 10

2x + 10 = 16 se obtiene

multiplicando por 2

2(x + 5) = 2·8→2x + 10 = 16

Para obtener una ecuación equivalente a

una dada se utilizan las siguientes reglas.

• Si sumamos o restamos a los dos

miembros de una ecuación la misma

expresión algebraica, se obtiene una

ecuación equivalente a la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los

dos miembros de una ecuación la

misma expresión algebraica, se

obtiene una ecuación equivalente a la

dada.

MATEMÁTICAS 3ºESO 􀂄 43

Ecuaciones de segundo grado

EJERCICIOS resueltos

1. Clasifica la siguiente expresión algebraica:6(7x − 1) + 3x = 4x + 76 ,en identidad o

ecuación.

Sol: Es una ecuación,6(7x − 1) + 3x = 42x − 6 + 3x = 45x − 6#4x + 76

2. Clasifica la siguiente expresión alegraica:7(5x − 1) + 5x = 40x − 7 ,en identidad o

ecuación.

Sol: Es una identidad, 7(5x − 1) + 5x = 35x − 7 + 5x = 40x − 7

3. Escribe una ecuación de la forma ax+b=c cuya solución sea x=4

Sol:3x − 5 = 7

4. Escribe una ecuación de la forma ax =b que sea equivalente a 5x + 4 = −16

Sol: Restando 4 a los dos miembros de la ecuación se obtiene 5x = −20

5. Escribe una ecuación de la forma x +b=c que sea equivalente a 5x + 20 = 15

Sol: Dividiendo por 5 a los dos miembros de la ecuación se obtiene 5x + 4 = 3

6. Razona si x=2 es solución de la ecuación: 5x + 3(x − 1) = 13

Sol: Si es solución 5(2) + 3(2 − 1) = 10 + 3·1 = 10 + 3 = 13

7. Razona si x=3 es solución de la ecuación: 7x + 3(x − 2) = 16

Sol: No es solución 7(3) + 3(3 − 2) = 21 + 3·1 = 24#16

8. Comprueba que x=-1, es solución de la ecuación 5x + x2 = −4

Sol: Si es solución 5(−1) + (−1)2 = −5 + 1 = −4

9. Escribe una ecuación que sea incompatible

Sol: (x − 1)2 = −4 , ningún número elevado al cuadrado es negativo

...