Ecuaciones ejercicios
Enviado por exraptor • 25 de Julio de 2021 • Prácticas o problemas • 1.425 Palabras (6 Páginas) • 229 Visitas
- Dos tanques que contienen 100 litros de líquido están conectados como se muestra en la Figura. Inicialmente en el depósito B hay 2 kg de sal disuelta y en el tanque A solo hay agua. Se comienza a bombear una disolución de agua y sal con un caudal de 4 l/min y una concentración de 30 g/l al tanque A. La disolución circula entre los tanques y hacia el exterior de acuerdo a los datos de la Figura.
[pic 1]
Se pide:
- Usar la información dada para construir el sistema ecuaciones diferenciales para el sistema interconectado.
- Resuelva el sistema hallado en a).
- Encontrar la cantidad de sal presente en el tanque A y B en 𝑡 = 15 minutos.
SOLUCIÓN
Si x(t) es la cantidad de sustancia presente en el tanque en el instante t y 𝐝𝐱[pic 2]
𝐝𝐭
es la
rapidez con que x cambia respecto al tiempo, la ecuación diferencial que modela este
problema viene dada por:
𝒅𝒙
𝒅𝒕 = 𝒗𝒆 − 𝒗𝒔[pic 3]
Donde:
𝒗𝒆 (cantidad/t) = velocidad de entrada de fluido (vol/t) multiplicada por la concentración al entrar (cantidad/vol)
𝒗𝒔 (cantidad/t) = velocidad de salida del fluido (vol/t) multiplicada por la concentración al salir (cantidad/vol) siendo la concentración de salida, la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en el tanque en dicho instante.
Ahora vamos a considerar varios depósitos interconectados entre sí, de modo que se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Designamos 𝐂𝐀(t) y 𝐂𝐁(t) a las funciones que nos proporcionan las concentraciones en los tanques A y B respectivamente a lo largo del tiempo:
𝒅𝑪𝑨 = (4 𝑙⁄ )(30
[pic 4]
) + (1 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐵
[pic 5]
) − (2 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐴
[pic 6]
) − (3 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐴 𝑔 )
[pic 7]
𝒅𝒕
𝑚𝑖𝑛
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝒅𝑪𝑨 𝑔
[pic 8]
𝐶𝐵 𝑔
[pic 9]
2𝐶𝐴 𝑔
[pic 10]
3𝐶𝐴 𝑔
[pic 11]
𝒅𝒕 = (120
⁄𝑚𝑖𝑛) + (100
⁄𝑚𝑖𝑛) − (100
⁄𝑚𝑖𝑛) − (100
⁄𝑚𝑖𝑛)
𝒅𝑪𝑨 = ( 𝐶𝐵[pic 12][pic 13]
) − (5𝐶𝐴 ) + 120 ⟹ 𝒅𝑪𝑨 = − 𝟓𝑪𝑨 + 𝑪𝑩
+ 𝟏𝟐𝟎[pic 14][pic 15]
𝒅𝒕[pic 16][pic 17]
100
100
𝒅𝒕
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝒅𝑪𝑩 = (2 𝑙⁄ )(60
[pic 18]
) + (2 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐴
[pic 19]
) − (1 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐵
[pic 20]
) − (3 𝑙⁄ ) ( 𝐶𝐵 𝑔 )
[pic 21]
𝒅𝒕
𝑚𝑖𝑛
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝑚𝑖𝑛
100
⁄𝑙
𝒅𝑪𝑩 𝑔
[pic 22]
2𝐶𝐴 𝑔
[pic 23]
𝐶𝐵 𝑔
[pic 24]
3𝐶𝐵 𝑔
[pic 25]
𝒅𝒕 = (120
⁄𝑚𝑖𝑛) + (100
⁄𝑚𝑖𝑛) − (100
⁄𝑚𝑖𝑛) − (100
⁄𝑚𝑖𝑛)
𝒅𝑪𝑩 = (2𝐶𝐴 ) − (4𝐶𝐵 ) + 120 ⟹ 𝒅𝑪𝑩 = 𝟐𝑪𝑨 − 𝟒𝑪𝑩 + 𝟏𝟐𝟎[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
...