Ejercicios ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.).

Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como

F( x, y, y’,...yn)  = 0.

Ecuaciones de variables separables.

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y’  = F (x, y )

Se dice de Variables Separables si es posible factorizar F (x, y ) en la forma:

F (x, y) = f ( x ) g ( y )

Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia:

- Procedimiento: Variables Separables

- Entrada: Una EDO en la forma y’ = F (x, y )

- Salida: La solución de la ED.

Paso I: Factorizar el segundo miembro.

Factorizar F (x, y) = f ( x ) · g ( y ), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua.

Paso II: Separar las variables

Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes:

y’ = F (x, y )

= f ( x ) · g ( y )

dy/ dx =

( 1 g(y)) dy/dx = f ( x )

Paso III: Integrar

Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos:

∫ 1/ g ( y ) (dy/ dx) dx = ∫ f ( x ) dx

o simplemente:

∫ 1/ g ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx + C

Paso IV: Despejar y Opcional

Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma:

y = Expresión en x

En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar y) se dice que la solución está dada en forma implícita.

Resuelve la ED:

dy/ dx = − 2 x/ y

Primero revisamos si la ED es de variables separables:

dy /dx = − 2 x /y = ( − 2 x ) ( 1/ y) ¶ = f ( x ) g ( y )

Separando las variables:

y dy = − 2 x dx

Integrando tenemos:

1/ 2 y2 = − x2  + C

La expresión 1/ 2 y2 = − x2  + C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de C tenemos:

[pic 1]

Ejemplo.

En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 20 minutos.

Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es

dP/ dt = k P

Separando variables e integrando

1/ P dP = k dt → ln( P) = k t + C

Despejando P:

P = ek t + C = e C ek t = C e k t = C e k t

Puesto que para t = 0

el número inicial es de P = 200:

200 = C e k·0 = C e 0 = C · 1 = C

Y para t = 10, el número es de 300:

300 = C e k·10 = 200 e10 k → k = 1/ 10 ln (3 /2) ≈ 0.04054

Por tanto, para t = 20 tendremos:

P ( t = 20) = 200 e k 20 ≈ 200 e 0.04054·20 = 450

Ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos

Antes de definir a las ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos, hablaremos sobre las funciones homogéneas.

Funciones homogéneas

Una función es homogénea es una función con comportamiento escalativo multiplicativo: si el argumento se multiplica por un factor, entonces el resultado es una multiplicación por alguna potencia de este factor.

Se dice que una función f(x,y) es homogénea de grado k si:

f (tx,ty) = tk  f (x, y)

Observe que de acuerdo con esta definición, una función homogénea de grado cero cumple con

f (tx, ty) = to f (x, y) = f( x, y)

Ejemplo 1. Demuestre que la función f (x, y) = 3x2 y es homogénea.

Aplicando la definición:

 f (tx, ty) = 3 (tx)2 (ty) = 3t2 x2 ⋅ty = 3t3 x2 y = t3 (3x2 y) = t3 f ( x, y )

Entonces la función es homogénea de grado tres.

Ejemplo 2. Determine si la función

f ( x, y) = 1+ xy es homogénea

Aplicando la definición: f(tx, ty)= 1+ (tx)(ty) = 1+ t2xy ≠ f(x ,y ) ∴  la función es no homogénea.

Teorema. El cociente de dos funciones homogéneas del mismo grado es una función homogénea de grado cero.

Una vez explicada la definición de función homogénea, definimos a las ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos.

Ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos

La definición de estas ecuaciones puede darse en dos formas: una cuando la ecuación está en forma diferencial y otra cuando la ecuación está en su forma normal.

1. Cuando la ecuación está en su forma diferencial

 Mdx + Ndy = 0                                                                                                                                         (a)

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