Ecuación de Cauchy – Riemann , Ecuación de Laplace

Universidad Politécnica Salesiana [pic 1]

INVESTIGACIÓN

"Ecuación de Cauchy – Riemann , Ecuación de Laplace"

Bryan Joel Guamán Salazar

bguamans@est.ups.edu.ec

Realizado: 17/05/2018

Resumen.- En este informe de investigación realizaremos una breve explicación sobre la Ecuación de Cauchy-Riemann y La Ecuación de Laplace la cual consistirá en desarrollar cada una de ellas desde su definición hasta su aplicación y adjuntare la aplicación desde un software libre (Matlab).

Abstract.- In this research report we will give a brief explanation about the Cauchy-Reimann equation and the Laplace equation which will consist in developing each of them from its definition to its application and enclose the application from a free software (Matlab) .

1. Definición de la Ecuación de Cauchy-Reimann

Son condiciones de gran importancia en la teoría de las funciones analíticas y en las aplicaciones de estas funciones a la física. Desde un punto de vista histórico fueron tratadas ya en el siglo XVIII por D’Alembert. Euler las desarrolló en sus trabajos de aplicación a la mecánica de fluidos, a la cartografía y al cálculo integral. Son las llamadas Ecuaciones de Cauchy-Riemann, aunque, realmente habrían de llamarse, más apropiadamente, Ecuaciones de D’Alembert-Euler.

“Las ecuaciones de Cauchy - Riemann son una CONDICION NECESARIA para que una función sea analítica en un dominio específico”.

1. Modelos Matemáticos

La propiedad de análisis induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función:

• Ecuaciones de Cauchy - Riemann:

• [pic 2]
• [pic 3]

• Teorema1: una condición necesaria para que una función sea diferenciable en  es que las ecuaciones de  Cauchy-Riemann se satisfaga.[pic 4]

• Consecuentemente, si f es una función analítica en un conjunto abierto, entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann deben satisfacerse en cada punto del conjunto abierto.

• Comentario: Que se satisfagan las ecuaciones. de Cauchy-Riemann NO es suficiente para asegurar que la función sea diferenciable. Para ello hay que añadir condiciones de continuidad a las derivadas parciales de u y v.

• Teorema2: Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida en un conjunto abierto (entorno) que contiene a

Si

• Las derivadas parciales de u y v existen en dicho entorno.
• Las derivadas parciales son continuas en
• Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Entonces f(z) es diferenciable en  y[pic 5]

[pic 6]

• Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de la vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica

• Teorema3: Sea f(z)=u(r,θ)+i v(r,θ) definida en un entorno de =roeiθ0 Si [pic 7]
• las derivadas parciales con respecto a r y θ existen.
•  Las derivadas parciales son continuas en .[pic 8]
• Se satisfacen las ecuaciones. de Cauchy-Riemann (versión polar).
• Entonces f(z) es diferenciable (r0 ,θ0) en y

[pic 9]

• Teorema4: Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.

• Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace.

[pic 10]

• Teorema5: Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica.

• Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica

f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y).

Veamos algunas funciones analíticas que se

reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0.

• Función exponencial
• Función logaritmo
• Exponentes complejos
• Funciones trigonométricas
• Funciones hiperbólicas
• Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas

1. Ejemplo de aplicación

f(z)=z2 ===> f’(z)=2z

• [pic 11]
•    ===>   v=2xy[pic 12]
• [pic 13]
• [pic 14]
• [pic 15]
• [pic 16]
• [pic 17]
• [pic 18]
• f’(z)=[pic 19]

• f’(z)=2x+i2y=2(x+iy)=2z(Resultado)

1. Modelación en Software Matlab

PROGRAMACION

G(z) numerator z+1,

Denominator [pic 20]

>> num = [1, 1]

>> den = [1, 0.3, 0.02, 0]

• Partial Fraction Coefficients

>> [r, p, k] = residue( num, den)

• p = poles, r = residues

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