Ejercicios De Fasores
ronnyfernandezc10 de Noviembre de 2013
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EJERCICIOS FASORES
EJERCICIO 1.- Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie,
suponiendo que contiene dos elementos. La tension y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente.
i (t)= 8 sen ( 2.000 t +5 )
v (t)=50 sen ( 2.000 t - 25 )
‹
‹
RESOLUCION:
Al estar dadas la tension y corriente con sus respectivas fases, el origen de tiempos esta perfectamente determinado.
Hay que hacer notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia.
Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son:
- 25 ( V )
2
V = 50 Ú ‹
5 ( A )
2
I = 8 Ú ‹
Aplicando la definicion de impedancia se tiene:
- 30 =5,4 - j 3,1( )
8
= 50
5
2
8
- 25
2
50
Z = Ú ‹ ƒ¶
Ú ‹
Ú ‹
que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por:
=160 F
3,125 x 2.000
R=5,4 C= 10
6
ƒ¶ ƒÊ
En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el
circuito es capacitivo ya que la tension esta retrasada respecto de la corriente.
El origen de tiempos puede ser cambiado. Si se toma como origen de tiempos un punto cero de la corriente, el
diagrama fasorial sera el mostrado en primer lugar en la figura siguiente. Si se toma como origen de tiempos la
tension el diagrama fasorial sera el segundo de los representados.
Pero en ambos casos, el desfase tension - corriente es el mismo ya que esta impuesto por el argumento de la carga.
EJERCICIO 2.- Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinduccion L = 0,02 henrios. La
tension aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la figura. Sabiendo que ƒÖ = 500 rad/s,
determinar los otros dos elementos del circuito.
RESOLUCION:
La impedancia del circuito compuesto por los tres elementos sera:
= 31,61 71,50 =10+ j 30 ( )
7,91 ( 180 +63,5 )
Z = 250 - 45 Ú ‹ ƒ¶
Ú ‹ ‹
Ú ‹
por tanto, el circuito esta formado por una resistencia de: R=10 Ħ
y una reactancia inductiva total de: X L= 30 Ħ
Como uno de los elementos es una bobina de L = 0,02 henrios, siendo su reactancia de: X L1=0,02 x 500=10 Ħ
el tercer elemento sera una bobina cuya reactancia vendra dada por: X L2=30 - 10= 20 Ħ
a la que le corresponde un coeficiente de autoinduccion L2 dado por: X L2= L2 L2=0,04 H ƒÖ
EJERCICIO 3.- Un circuito serie se compone de una resistencia R = 8 ƒÖ y un condensador con una capacidad C = 30
ƒÊF. . A que frecuencia la corriente adelanta un angulo de 30o respecto de la tension ?.
RESOLUCION:
La reactancia XC del condensador viene dada por: Ħ
2 x x f x 30
X = 10
6
C ƒÎ
La impedancia del conjunto serie R-C se expresa como: Ħ
2 x x f x 30
Z = 8 - j 10
6
ƒÎ
Como el argumento de la impedancia es igual al desfase entre la tension y la corriente se tiene que:
f =1.150 Hz
8
2 x x f x 30
10
tg 30 =
6
‹ ƒÎ
EJERCICIO 4.- El angulo de fase de la impedancia de un circuito serie R-C es de - 45o a una frecuencia f1 = 500 Hz.
Hallar la frecuencia a la que el modulo de la impedancia es: (a) el doble que para el valor de f1, (b) la mitad que para el
valor de f1.
RESOLUCION:
La impedancia se expresa por: Z = R - j X C
A la frecuencia f1 su argumento es de - 45o, es decir: R= X
R X
tg ( - 45 )= - C
‹ C
Z = R - j R= 2 R Ú 45 ‹
(a) Para la frecuencia f2 a la cual el modulo es el doble del anterior se tiene: Z = R - j X | Z |= R + X C
2 2
1 CŒ 1 Œ
por tanto: 2 2 R= R + X C X C = R 7
2 2
Œ Œ
Teniendo en cuenta que: 2 f C
= 1 2 500 C X
= 1 X
2
C C ƒÎ ƒÎ Œ
se obtiene: f =189 Hz
2 500 C
= 2 f C
R 7
= R
X
X
2
2
C
C
ƒÎ
ƒÎ
Œ
(b) Para la frecuencia f3 a la cual el modulo es la mitad que para f1 se tiene:
2
= - R = R + X X
2
R 2
Z = R - j X
2
C
2
C
2 2
2 CŒŒ ŒŒ ŒŒ
lo que es imposible. Por tanto, no existe ninguna frecuencia para la cual el modulo de la impedancia sea la mitad que
para la frecuencia f1.
EJERCICIO 5.- Hallar las sumas de las tensiones de los generadores, expresadas en voltios,
mostrados en la figura,
y cuyos valores instantaneos viene dados por:
v (t)=100 sen ( t - 30 )
v (t)=35 sen ( t +45 )
2
1
‹
‹
ƒÖ
ƒÖ
Tomar como sentido de la suma, en primer lugar el sentido positivo de v1(t) y en segundo lugar el de v2(t).
RESOLUCION:
Los fasores correspondientes a las tensiones de los generadores seran:
- 30 ( V )
2
= 100 v (t)=100 sen ( t - 30 ) V
45 ( V )
2
= 35 v (t)=35 sen ( t +45 ) V
2 2
1 1
‹ Ú ‹
‹ Ú ‹
ƒÖ
ƒÖ
Tomando el sentido de v1(t) para el calculo de la suma se tiene:
-V +V -V =0 V =V -V T 1 2 T 1 2
vT (t)=68,6 2 sen ( ƒÖ t +129,61 ‹ )
vT (t)=97 sen ( ƒÖ t +130 ‹ )( V )
- 30 =68,6 129,61 ( V )
2
45 - 100
2
= 35 VT Ú ‹ Ú ‹ Ú ‹
Tomando el sentido de v2(t) para el calculo de la
suma se tiene:
-V +V -V =0 V =V -VTΠ2 1 TΠ2 1
vTŒ (t)= 97 sen ( ƒÖ t - 50 ‹ )( V )
45 =68,6 - 50,38 ( V )
2
- 30 - 35
2
= 100 VT Ú ‹ Ú ‹ Ú ‹
El diagrama fasorial correspondiente a las soluciones es el mostrado en la figura.
EJERCICIO 6.- (Metodo de los tres voltimetros) Para determinar las constantes r y L de una impedancia (bobina real),
se conecta esta en serie con una resistencia de 25 Ħ (resistencia calibrada), y al conjunto se le aplica una fuente de
tension de 120 V, 60 Hz. Se miden las tensiones en bornas de la resistencia y de la impedancia, obteniendose los
valores:
VR = 70,8 V y VZ = 86 V.
. Cuales son los valores de los parametros, r y L, de la impedancia en cuestion ?. El esquema del montaje del metodo
de los tres voltimetros es el indicado en la siguiente figura.
RESOLUCION:
a) En primer lugar se ha de fijar el origen de tiempos, ya que no esta definido por que solo se proporcionan los valores
eficaces de las tensiones en los extremos de la resistencia y de la impedancia.
La unica variable comun a todos los elementos pasivos del circuito es la corriente que circula por todos ellos.
Tomando como origen de tiempos esta corriente se tiene que: La tension en los extremos de la resistencia VR, esta en
fase con dicha corriente; La tension en los extremos de la parte resistiva de la impedancia desconocida Vr, esta en
fase con dicha corriente; La tension en los extremos de la parte reactiva de la impedancia desconocida VL, esta
adelantada 90o respecto de dicha corriente.
Por otra parte, se sabe que la tension total en los extremos de la impedancia desconocida VZ, sera la suma de la
tension de su parte resistiva Vr y la tension de su parte reactiva VL. Por tanto, dicha tension estara adelantada un
cierto angulo, menor de 90o, respecto de la corriente. Teniendo en cuenta todo lo anterior, se configura el diagrama
fasorial de la figura.
El valor de la impedancia Z vendra dado por:
I
Z = V Z
El fasor tension Z se obtendra de: ‹ => =80,59 ‹
2 x 86 x 70,8
( 180 - )= 86 +70,8 - 120
2 2 2
cos ƒÀ ƒÀ
por tanto: V Z = 86 80,59 V Ú ‹
El valor eficaz de la corriente se obtiene aplicando la ley de ohm a la resistencia de 25 Ħ, con lo que fasor vendra
dado por: = 2,83 A => I = 2,83 0 A
25
I = 70,8 Ú ‹
por tanto:
Ú ‹ ƒ¶
Ú ‹
Ú ‹ 30,37 80,59 = 5+ j 30
2,83 0
Z = 86 80,59
R= 5Ħ = 80 mH
2 x x 60
L= 30
ƒÎ
b) Fijando el origen de tiempos con la tension entre los terminales de la impedancia, Z, se obtiene el diagrama fasorial
de la figura.
Tomando el origen de referencia indicado, la corriente que circula por la impedancia estara retrasada un cierto angulo,
desconocido, respecto de la tension de referencia, ya que por tratarse de un circuito serie con una resistencia y una
inductancia tendra un caracter netamente inductivo.
La tension, supuesta existente entre los extremos de la parte resistiva de la impedancia Vr, estara en fase con la
corriente. Por el contrario, la tension supuesta existente entre los extremos de la parte inductiva de la impedancia VL
estara desfasada 90o en adelanto respecto de la corriente.
...