Ejercicios Sears Semanski

Preguntas para análisis

Osilaciones!!

P13.1. Un objeto se mueve con MAS de amplitud A en el extremo de un resorte. Si la amplitud se duplica, ¿qué sucede con la distancia total que el objeto recorre en un periodo? ¿Qué sucede con el periodo? ¿Qué sucede con la rapidez máxima del objeto? Analice la relación en- tre estas respuestas.

P13.2. Piense en varios ejemplos cotidianos de movimiento que sea, al menos, aproximadamente armónico simple. ¿Cómo difiere cada uno del MAS?

P13.3. ¿Un diapasón u otro instrumento de afinación similar tiene MAS? ¿Por qué es algo esencial para los músicos?

P13.4. Una caja que contiene un guijarro se conecta a un resorte hori- zontal ideal y oscila sobre una mesa de aire sin fricción. Cuando la ca- ja ha alcanzado su distancia máxima a partir del punto de equilibrio, repentinamente el guijarro se sale por arriba sin perturbar la caja. ¿Las siguientes características del movimiento aumentarán, disminuirán o permanecerán igual en el movimiento subsecuente de la caja? Justifi- que cada respuesta. a) Frecuencia, b) periodo; c) amplitud; d) la ener- gía cinética máxima de la caja; e) la rapidez máxima de la caja.

P13.5. Si un resorte uniforme se corta a la mitad, ¿qué constante de fuerza tendrá cada mitad? Justifique su respuesta. ¿Cómo diferiría la frecuencia del MAS usando la misma masa y medio resorte, en vez del resorte completo?

P13.6. En el análisis del MAS de este capítulo se despreció la masa del resorte. ¿Cómo cambia esta masa las características del movimiento?

P13.7. Dos deslizadores idénticos en un riel de aire están conectados por un resorte ideal. ¿Podría tal sistema ser un MAS? Explique su res- puesta. ¿Cómo sería el periodo en comparación con el de un solo desli- zador unido a un resorte, donde el otro extremo está unido rígidamente a un objeto estacionario? Explique su respuesta.

P13.8. Imagine que lo capturan unos extraterrestres, lo meten en su na- ve y lo duermen con un sedante. Tiempo después, despierta y se en- cuentra encerrado en un compartimento pequeño sin ventanas. Lo único que le dejaron es su reloj digital, su anillo escolar y su largo co- llar de cadena de plata. Explique cómo podría determinar si todavía es- tuviera en la Tierra o si habría sido transportado a Marte.

P13.9. El sistema de la figura 13.17 se monta en un elevador. ¿Qué le sucede al periodo del movimiento (aumenta, disminuye o no cambia), cuando el elevador a) acelera hacia arriba a 5.0 m>s2; b) se mueve ha- cia arriba a 5.0 m>s constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 m>s2? Justi- fique su respuesta.

P13.10. Si un péndulo tiene un periodo de 2.5 s en la Tierra, ¿qué pe- riodo tendría en una estación espacial en órbita terrestre? Si una masa colgada de un resorte vertical tiene un periodo de 5.0 s en la Tierra, ¿qué periodo tendrá en la estación espacial? Justifique sus respuestas.

P13.11. Un péndulo simple se monta en un elevador. ¿Qué le sucede al periodo del péndulo (aumenta, disminuye o no cambia), cuando el ele- vador a) acelera hacia arriba a 5.0 m>s2; b) se mueve hacia arriba a 5.0 m>s constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 m>s2 ; d) acelera hacia aba- jo a 9.8 m>s2? Justifique sus respuestas.

P13.12. ¿Qué debe hacerse a la longitud del cordón de un péndulo sim- ple para a) duplicar su frecuencia, b) duplicar su periodo, c) duplicar su frecuencia angular?

P13.13. Si un reloj de péndulo se sube a la cima de una montaña, ¿se adelanta o se atrasa? Explique, suponiendo que marca la hora correcta a menor altitud.

P13.14. Si la amplitud de un péndulo simple aumenta, ¿debería aumen- tar o disminuir su periodo? Mencione un argumento cualitativo; no se base en la ecuación (13.35). ¿Su argumento también es válido para un péndulo físico?

P13.15. ¿Porqué los perros pequeños (como los chihuahueños) cami- nan con zancadas más rápidas que los perros grandes (como los dane- ses)?

P13.16. ¿En qué punto del movimiento de un péndulo simple es máxi- ma la tensión en el cordón? ¿Y mínima? En cada caso, explique su ra- zonamiento.

P13.17. ¿Un estándar de tiempo podría basarse en el periodo de cierto péndulo estándar? ¿Qué ventajas y desventajas tendría tal estándar con respecto al estándar actual descrito en la sección 1.3?

P13.18. Para un péndulo simple, diferencie claramente entre v (la ve- locidad angular) y v la frecuencia angular). ¿Cuál es constante y cuál es variable?

P13.19. Un deslizador está conectado a un resorte ideal fijo y oscila so- bre una pista de aire horizontal sin fricción. Se coloca una moneda en- cima del deslizador y oscila con éste. ¿En qué puntos del movimiento es máxima la fuerza de fricción sobre la moneda? ¿En qué puntos es mínima? Justifique sus respuestas.

P13.20. Al diseñar estructuras en una región de alta sismicidad, ¿qué relación debe haber entre las frecuencias naturales de oscilación de una estructura y las frecuencias típicas de terremoto? ¿Por qué? ¿La estructura debe tener mucho o poco amortiguamiento?

Ejercicios Sección 13.1

Descripción de la oscilación

13.1. Una cuerda de piano produce una nota la medio vibrando pri- mordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un la una octava más arriba, que tiene el doble de la frecuencia de la cuerda de piano.

13.2. Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.120 m de su posición de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.800 s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez durante este intervalo. Calcule a) la amplitud, b) el periodo y c) la frecuencia.

13.3. La punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento.

13.4. En la figura 13.30 se muestra el desplazamiento de un objeto os- cilante en función del tiempo. Calcule a) la frecuencia, b) la amplitud, c) el periodo y d) la frecuencia angular de este movimiento.

Sección 13.2

Movimiento armónico simple

13.5. Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5.00 Hz y amplitud de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x 5 0 a x 5 21.80 cm?

13.6. En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de ai- re de 0.200 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera vez que el desli- zador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte

13.7. Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza de 120 N>m. Se observa que vibra con una frecuen- cia de 6.00 Hz. Calcule a) el periodo del movimiento; b) la frecuencia angular; y c) la masa del cuerpo.

13.8. Cuando una masa de 0.750 kg oscila en un resorte ideal, la fre- cuencia es de 1.33 Hz. a) ¿Cuál será la frecuencia si se agregan 0.220 kg a la masa original, y b) y si se restan de la masa original? Intente resol- ver este problema sin calcular la constante de fuerza del resorte.

13.9. Un oscilador armónico tiene una masa de 0.500 kg unida a un re- sorte ideal con constante de fuerza de 140 N>m. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones.

13.10. Tirón. Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia de 440 Hz. Un punto en su centro se mueve en MAS con amplitud de 3.0 mm y ángulo de fase cero. a) Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del tiempo. b) ¿Qué magnitud máxima tienen la velocidad y la aceleración del centro de la cuerda? c) La deri- vada de la aceleración con respecto al tiempo es una cantidad llamada tirón. Escriba una ecuación para el tirón del centro de la cuerda en fun- ción del tiempo, y calcule el valor máximo de la magnitud del tirón.

13.11. Un bloque de 2.00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con constante de fuerza de 300 N>m. En t 5 0, el resorte no está estirado ni comprimido, y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12.0 m>s. Calcule a) la amplitud y b) el ángulo de fase. c) Escriba una ecuación para la posición en función del tiempo.

13.12. Repita el ejercicio 13.11, pero suponga que en t 5 0 el bloque tiene una velocidad de 24.00 m>s y un desplazamiento de 10.200 m.

13.13. La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS, sobre el eje x con una frecuencia de 2.5 Hz. En t 5 0, sus com- ponentes de posición y velocidad son, respectivamente, 11.1 cm y 215 cm>s. a) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t 5 0. b) Escriba ecuaciones para las componentes de posición, velo- cidad y aceleración de la punta en función del tiempo.

13.14. Un objeto está en MAS con periodo de 1.200 s y una amplitud de 0.600 m. En t 5 0, el objeto está en x 5 0. ¿A qué distancia está el objeto de la posición de equilibrio cuando t 5 0.480 s?

13.15. Peso de los astronautas. Este procedimiento se utiliza real- mente para “pesar” a los astronautas en el espacio. Se une una silla de 42.5 kg a un resorte y se le deja oscilar cuando está vacía, la silla tarda 1.30 s en efectuar una vibración completa. En cambio, con un astro- nauta sentado en ella, sin tocar el piso con sus pies, la silla tarda 2.54 s en completar un ciclo. ¿Cuál debe ser la masa del astronauta?

13.16. Un objeto de 0.400 kg en MAS tiene ax 522.70 m>s2 cuando x 5 0.300 m. ¿Cuánto tarda una oscilación?

13.17. Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, un deslizador os- cila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2.50 N>cm. En la figura 13.31 la gráfica muestra la aceleración del desliza- dor en función del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el des- plazamiento máximo del deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el deslizador.

13.18. La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del tiempo por Calcule a) el periodo, b) la amplitud, c) la aceleración máxima de la masa y d) la constante de fuerza del resorte.

13.19. El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte está dado por la ecuación Calcule a) el tiempo que tarda una vibración completa; b) la constante de fuerza del resorte; c) la rapidez máxima de la masa; d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa; e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t 5 1.00 s; f ) y la fuerza que actúa sobre la masa en ese momento.

13.20. Un objeto está en MAS con periodo de 0.300 s y una amplitud de 6.00 cm. En t 5 0, el objeto está instantáneamente en reposo en x 5 6.00 cm. Calcule el tiempo que el objeto tarda en ir de x 5 6.00 cm a x 521.50 cm.

Sección 13.3 Energía en el movimiento armónico simple

13.21. Las puntas de un diapasón rotulado con 392 Hz están vibran- do con una amplitud de 0.600 mm. a) ¿Qué rapidez máxima tiene una punta? b) Una mosca común (Musca domestica) con masa de 0.0270 g está sujeta en el extremo de una de las puntas. Al vibrar la punta, ¿qué energía cinética máxima tiene la mosca? Suponga que el efecto de la masa de la mosca sobre la frecuencia de oscilación es despreciable.

13.22. Un oscilador armónico tiene frecuencia angular v y amplitud A. a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la velocidad cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética. (Suponga que U 5 0 en el equilibrio.) b) ¿Cuántas veces sucede eso en cada ciclo? ¿Cada cuándo sucede? c) En un instante en que el desplazamiento es igual a A>2, ¿qué fracción de la energía total del sistema es cinética y qué fracción es potencial?

13.23. Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k 5 450 N>m, está en MAS con una am- plitud de 0.040 m. Calcule a) la rapidez máxima del deslizador; b) su rapidez cuando está en x 520.015 m; c) la magnitud de su acelera- ción máxima; d) su aceleración en x 520.015 m; e) su energía mecá- nica total en cualquier punto de su movimiento.

13.24. Una porrista ondea su pompón en MAS con amplitud de 18.0 cm y frecuencia de 0.850 Hz. Calcule a) la magnitud máxima de la acelera- ción y de la velocidad; b) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es x 519.0 cm; c) el tiempo que tarda en moverse direc- tamente de la posición de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d) ¿Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a), b) y c) pueden obtenerse empleando el enfoque de energía de la sección 13.3 y cuáles no? Explique su respuesta.

13.25. Para la situación descrita en el inciso a) del ejemplo 13.5, ¿qué masa m deberá tener la masilla para que la amplitud después del choque sea la mitad de la amplitud original? Con ese valor de m, ¿qué fracción de la energía mecánica original se convierte en calor?

13.26. Un juguete de 0.150 kg está en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza k 5 300 N>m. Cuando el objeto está a 0.0120 m de su posición de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m>s. Calcule a) la energía total del objeto en cualquier punto de su movi- miento; b) la amplitud del movimiento; c) la rapidez máxima alcanzada por el objeto durante su movimiento.

13.27. Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando dicho objeto está desplazado 0.600 m a la derecha de su posición de equili- brio, tiene una velocidad de 2.20 m>s a la derecha y una aceleración de 8.40 m>s2 a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movi- miento a la izquierda?

13.28. En una mesa horizontal sin fricción, una caja de 5.20 kg abierta de arriba se sujeta a un resorte ideal, cuya constante de fuer- za es de 375 N>m. Dentro de la caja hay una piedra de 3.44 kg. El sistema oscila con una amplitud de 7.50 cm. Cuando la caja ha alcanzado su rapidez máxima, la piedra se sale repentinamente de la caja hacia arriba sin tocar ésta. Calcule a) el periodo y b) la am- plitud del movimiento resultante de la caja. c) Sin realizar cálculos, ¿el nuevo periodo es mayor o menor que el periodo original? ¿Cómo lo sabe?

13.29. Dentro de un vehículo de prueba de la NASA, se tira de una es- fera de 3.50 kg mediante un resorte ideal horizontal que está unido a una mesa sin fricción. La constante de fuerza del resorte es de 225 N>m. El vehículo tiene una aceleración constante de 5.00 m>s2, y la es- fera no oscila. De repente, cuando la rapidez del vehículo llega a 45.0 m>s, sus motores se apagan, eliminando así su aceleración pero no su velocidad. Calcule a) la amplitud y b) la frecuencia de las oscilaciones resultantes de la esfera. c) ¿Cuál será la rapidez máxima de la esfera en relación con el vehículo?

Sección 13.4

Aplicaciones del movimiento armónico simple

13.30. Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pez de 65.0 kg de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 m. a) Calcule la constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 cm hacia abajo y luego se suelta. b) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez? c) ¿Qué rapidez máxima alcanzará?

13.31. Un deslizador de 175 g sobre una pista de aire horizontal sin fricción está unido a un resorte ideal fijo, cuya constante de fuerza es de 155 N>m. En el momento en que usted mide el deslizador, éste se mueve a 0.815 m>s y está a 3.00 cm de su posición de equilibrio. Utili- ce la conservación de la energía para calcular a) la amplitud del movi- miento y b) la rapidez máxima del deslizador. c) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones?

13.32. Un gato con masa de 4.00 kg que gusta de las emociones fuertes está unido mediante un arnés a un resorte ideal de masa despreciable y oscila verticalmente en MAS. La amplitud es de 0.050 m y, en el punto más alto del movimiento, el resorte tiene su longitud natural no estirada. Calcule la energía potencial elástica del resorte (suponga que es cero cuando el resorte no está estirado); la energía cinética del gato; la energía potencial gravitacional del sistema relativa al punto más bajo del movi- miento; y la suma de estas tres energías cuando el gato está a) en su pun- to más alto, b) en su punto más bajo, y c) en su posición de equilibrio.

13.33. Una esfera de 1.50 kg y otra de 2.00 kg se pegan entre sí colocan- do la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N>m, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15.0 cm. El pegamento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esfe- ras están en la posición más baja de su movimiento. a) ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo, que en algún otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vi- braciones después de que la esfera inferior se despega.

13.34. Un disco uniforme sólido de metal con masa de 6.50 kg y diáme- tro de 24.0 cm cuelga en un plano horizontal, apoyado en su centro con un alambre metálico vertical. Usted sabe que se requiere una fuerza ho- rizontal de 4.23 N tangente al borde del disco para girarlo 3.34°, y así torcer el alambre. Ahora usted elimina esta fuerza y suelta el disco del reposo. a) ¿Cuál es la constante de torsión para el alambre metálico? b) ¿Cuáles son la frecuencia y el periodo de las oscilaciones de torsión del disco? c) Escriba la ecuación del movimiento para u(t) del disco.

13.35. Cierto reloj despertador hace tic cuatro veces cada segundo, y cada tic representa medio periodo. La rueda de balance consiste en un aro delgado con 0.55 cm de radio, conectada al vástago de balance por rayos de masa despreciable. La masa total de la rueda es de 0.90 g. a) ¿Qué mo- mento de inercia tiene la rueda con respecto a su eje? b) ¿Qué constan- te de torsión tiene la espiral?

13.36. Un disco metálico delgado con masa de 2.00 3 1023 kg y ra- dio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga (figura 13.32). Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsión de la fibra.

13.37. Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecánica complicada, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsión de . Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. ¿Cuánto vale el momento de inercia buscado?

13.38. La rueda de balance de un reloj vibra con amplitud angular U, frecuencia angular v y ángulo de fase f50. a) Deduzca expresiones para la velocidad angular du>dt y la aceleración angular d2u>dt2 en función del tiempo. b) Calcule la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda de balance, cuando su desplazamiento angular sea U, y cuando su desplazamiento sea U>2 y u esté disminuyendo. (Sugerencia: haga una gráfica de u contra t.) *

13.39. Para la interacción de Van der Waals con la función de energía potencial dada por la ecuación (13.25), demuestre que, cuando la mag- nitud del desplazamiento x con respecto al equilibrio (r 5 R0) es pe- queña, la energía potencial es aproximadamente [Sugerencia: en la ecuación (13.25), sea y Lue- go, aproxime (1 1 u)n con los primeros tres términos de la ecuación (13.28).] Compare k de esta ecuación con la constante de fuerza de la ecuación (13.29) para la fuerza. *

13.40. Cuando los dos átomos de hidrógeno de una molécula de H2 se desplazan del equilibrio, una fuerza de restitución Fx 52kx, con k 5 580 N>m, actúa sobre ellos. Calcule la frecuencia de oscilación de la molécula de H2. (Sugerencia: la masa de un átomo de hidrógeno es 1.008 unidades de masa atómica, es decir, 1 u; vea el Apéndice E. Co- mo en el ejemplo 13.7 de la sección 13.4, use m>2 en vez de m en la expresión para f.)

Sección 13.5 El péndulo simple

13.41. Se tira de un péndulo simple de 0.240 m de longitud para mo- verlo 3.50° a un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su rapidez máxima? b) ¿Cuánto tarda si el ángulo es de 1.75° en vez de 3.50°?

13.42. Un alpinista de 85.0 kg planea balancearse, partiendo del repo- so, desde una saliente utilizando una cuerda ligera de 6.50 m de largo. Sujeta un extremo de la cuerda, en tanto que el otro extremo está unido más arriba a la cara de una roca. Como la saliente no está muy lejos de la cara de la roca, la cuerda forma un ángulo pequeño con la vertical. En su punto más bajo de su balanceo, planea soltarse y dejarse caer una distancia corta hacia el suelo. a) ¿Cuánto tiempo después de que empieza a balancearse el alpinista alcanzará su punto de oscilación más alto? b) Si falla en la primera oportunidad de soltarse, ¿cuánto tiempo después de iniciar su balanceo, el alpinista llegará a su pun- to más bajo por segunda vez?

13.43. En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que con- sisten en bombillas pequeñas de 2.35 kg con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longi- tud. Si ocurre un terremoto leve, ¿cuántas oscilaciones por segundo harán tales aditamentos?

13.44. Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qué periodo tendrá en Marte, donde g 5 3.71 m>s2?

13.45. Una manzana pesa 1.00 N. Si la colgamos del extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 1.50 N>m y masa desprecia- ble, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ángulo pequeño, la fre- cuencia de este péndulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ángulo es pequeño, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte.) ¿Qué longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)?

13.46. Una esfera pequeña de masa m está unida a una varilla sin ma- sa de longitud L con un pivote en el extremo de arriba, formando un péndulo simple. Se tira del péndulo hacia un lado, hasta que la va- rilla forma un ángulo U con la vertical y se suelta del reposo. a) Di- buje un diagrama del péndulo justo después de soltarse; incluya vectores que representen las fuerzas que actúan sobre la esfera pe- queña y la aceleración de la esfera. ¡La exactitud es importante! En este punto, ¿qué aceleración lineal tiene la esfera? b) Repita el inciso a) para el instante en que el ángulo de la varilla con la verti- cal es U>2. c) Repita el inciso a) para el instante en que la varilla del péndulo está vertical. En ese punto, ¿qué rapidez lineal tiene la esfera?

13.47. Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple con longitud de 50.0 cm y deter- mina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?

13.48. Un péndulo simple de 2.00 m de largo oscila con un ángulo máximo de 30.0° con la vertical. Obtenga su periodo, a) suponiendo una amplitud pequeña, y b) utilizando los primeros tres términos de la ecuación (13.35). c) ¿Cuál de las respuestas a los incisos a) y b) es más precisa? Para la que es menos precisa, de qué porcentaje es el error con respecto a la más precisa?

Sección 13.6 El péndulo físico

13.49. Una biela de 1.80 kg de un motor de combustión pivota alre- dedor de un filo de navaja hori- zontal como se muestra en la figura 13.33. El centro de grave- dad de la biela se encontró por ba- lanceo y está a 0.200 m del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones en 120 s. Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotación en el pivote.

13.50. Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2.0 s. ¿Qué radio debe tener el aro?

13.51. Demuestre que la expresión para el periodo de un péndulo físi- co se reduce a la del péndulo simple, si el péndulo físico consiste en una partícula de masa m en el extremo de un cordón sin masa de lon- gitud L.

13.52. Una llave inglesa de 1.80 kg tiene su pivote a 0.250 m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de 0.940 s. a) ¿Qué momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b) Si la llave inicialmente se desplaza 0.400 rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición?

13.53. Dos péndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El péndulo A es una esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el péndulo B, la mi- tad de la masa está en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. ¿Cuál tarda más tiempo en una oscilación?

13.54. Un adorno navideño con forma de esfera hueca de masa M 5 0.015 kg y radio R 5 0.050 m se cuelga de una rama con un lazo de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como péndulo físico con fricción des- preciable. Calcule su periodo. (Sugerencia: use el teorema de los ejes paralelos para determinar momento de inercia de la esfera con respecto al pivote en la rama.) d 5 0.200 m cg Figura 13.33 Ejercicio 13.49.

Problemas 451

13.55. Cada uno de los dos péndulos que se muestran en la figura 13.34 consiste en una esfera sólida uniforme de masa M sostenida por un cordón sin masa; no obstante, la esfera del péndulo A es muy pe- queña, en tanto que la esfera del péndulo B es mucho más grande. Ob- tenga el periodo de cada péndulo para desplazamientos cortos. ¿Qué esfera tarda más en completar una oscilación? ma de resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 3 106 N>m y masa de 108 kg. Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito?

Problemas

13.63. MAS en un motor de combustión. El movimiento del pistón de un motor de automóvil (figura 13.35) es aproximadamen- te armónico simple. a) Si la carre- ra del pistón (el doble de la amplitud) es de 0.100 m y el mo- tor trabaja a 3500 rev>min, ¿qué aceleración tiene el pistón en el extremo de su carrera? b) Si el pistón tiene una masa de 0.450 kg, ¿qué fuerza neta debe ejercerse sobre él en ese punto? c) ¿Qué rapidez y energía cinética tiene el pistón en el punto medio de su carrera? d) ¿Qué potencia media se requiere para acelerar el pistón desde el re- poso, hasta la rapidez determinada en el inciso c)? d) Repita los incisos b), c) y d) con el motor trabajando a 7000 rev>min.

13.64. Cuatro pasajeros cuya masa combinada es de 250 kg com- primen 4.00 cm los resortes de un automóvil con amortiguadores ven- cidos cuando se suben en él. Modele el auto y los pasajeros como un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el automóvil cargado tiene un periodo de vibración de 1.08 s, ¿qué periodo tiene cuando está vacío?

13.65. Un deslizador oscila con MAS y amplitud A1 en un riel de aire. Usted lo frena hasta reducir la amplitud a la mitad. ¿Qué pasa con sus a) periodo, frecuencia y frecuencia angular? b) ¿Con su energía mecá- nica total? c) ¿Con su rapidez máxima? d) ¿Con su rapidez en x 5 6A1>4? e) ¿Y con sus energías cinética y potencial en x 56A1>4?

13.66. Un niño malcriado está deslizando su plato de 250 g de un lado a otro, sobre una superficie horizontal en MAS con amplitud de 0.100 m. En un punto a 0.060 m de la posición de equilibrio, la rapidez del plato es de 0.300 m>s. a) Calcule el periodo. b) Encuentre el des- plazamiento cuando la rapidez es de 0.160 m>s. c) En el centro del pla- to hay una rebanada de zanahoria de 10.0 g, que está a punto de res- balar en el extremo de la trayectoria. Calcule el coeficiente de fricción estática entre la rebanada de zanahoria y el plato.

13.67. Una charola (bandeja) horizontal uniforme de 1.50 kg está uni- da a un resorte ideal vertical con constante de fuerza de 185 N>m y una esfera metálica de 275 g está en la charola. El resorte está debajo de la charola, así que puede oscilar verticalmente. La charola se presiona ha- cia abajo 15.0 cm por debajo de su posición de equilibrio (llamamos a esto punto A) y se suelta del reposo. a) ¿Qué tan alto por encima del punto A estará la charola cuando la esfera metálica salga de la charola? (Sugerencia: esto no ocurre cuando la esfera y la charola llegan a sus rapideces máximas.) b) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que el siste- ma se libera en el punto A y la esfera sale de la charola? c) ¿Qué tan rá- pido se mueve la esfera justo cuando sale de la charola?

13.68. Un bloque de masa M descansa en una superficie sin fricción y está conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k. El otro extremo del resorte está fijo a una pared (figura 13.36). Un segun- do bloque de masa m está sobre el primero. El coeficiente de fricción

Sección 13.7

Oscilaciones amortiguadas

13.56. Una masa de 2.20 kg oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de 250.0 N>m y 0.615 s, respectivamente. a) ¿Se trata de un sistema amortiguado o no? ¿Cómo lo sabe? Si es amorti- guado, calcule la constante de amortiguamiento b. b) ¿El sistema es no amortiguado, subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamor- tiguado? ¿Cómo lo sabe?

13.57. Un ratón de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k 5 2.50 N>m, sometido a la acción de una fuerza amortiguadora a) Si la constante b 5 0.900 kg>s, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? b) ¿Con qué valor de b el amortiguamiento será crítico?

13.58. Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte cuya constante de fuerza es k 5 25.0 N>m. Su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx 52 bvx actúa so- bre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguamiento b.

13.59. El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito por la ecuación (13.42). Sea el ángulo de fase f50. a) Según la ecua- ción, ¿cuánto vale x en t 5 0? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t 5 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de t 5 0? c) Deduzca una expresión pa- ra la aceleración ax en t 5 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t 5 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Comente cada caso en térmi- nos de la forma de la curva de x contra t cerca de t 5 0.

Sección 13.8 Oscilaciones forzadas y resonancia

13.60. Una fuerza impulsora que varía senoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y masa m. Si la constante de amortiguamiento tiene el valor b1, la amplitud es A1 cuando la frecuencia angular impulsora es En términos de A1, ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amor- tiguamiento es a) 3b1 y b) b1>2?

13.61. Una fuerza impulsora que varía senoidalmente se aplica a un os- cilador armónico amortiguado. a) ¿Qué unidades tiene la constante de amortiguamiento b? b) Demuestre que la cantidad tiene las mis- mas unidades que b. c) Determine, en términos de Fmáx y k, la amplitud de cuando i) y ii) Compare sus resultados con la figura 13.28

13.62. Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colo- carán a bordo de la Estación Espacial Internacional actúan como siste-estática entre los bloques es μs. Determine la amplitud de oscilación máxima que no permite que el bloque superior resbale.

13.69. Una masa de 10.0 kg viaja hacia la derecha con rapidez de 2.00 m>s sobre una superficie horizontal lisa y choca contra una se- gunda masa de 10.0 kg que inicialmente está en reposo pero unida a un resorte ligero con constante de fuerza de 80.0 N>m. a) Calcule la frecuencia, la amplitud y el periodo de las oscilaciones subsecuen- tes. b) ¿Cuánto tiempo tarda el sistema en regresar por primera vez a la posición inmediatamente después del choque?

13.70. Un cohete acelera hacia arriba a 4.00 m>s2 desde la platafor- ma de lanzamiento en la Tierra. En su interior, una esfera pequeña de 1.50 kg cuelga del techo mediante un alambre ligero de 1.10 m. Si la esfera se desplaza 8.50° de la vertical y se suelta, encuentre la am- plitud y el periodo de las oscilaciones resultantes de este péndulo.

13.71. Un objeto cuadrado de ma- sa m se construye con cuatro varas uniformes idénticas, cada una con longitud L, unidas entre sí. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho (figura 13.37). Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qué frecuencia oscilará de un lado a otro?

13.72. Una fuerza elástica de res- titución con constante de fuerza de 10.0 N>m actúa sobre un objeto con masa de 0.200 kg. a) Grafique la energía potencial elástica U en función del desplazamiento x dentro de un intervalo de x desde 20.300 m hasta 10.300 m. En su gráfica use la escala 1 cm 5 0.05 J verticalmente y 1 cm 5 0.05 m horizontal- mente. El objeto se pone a oscilar con una energía potencial inicial de 0.140 J y una energía cinética inicial de 0.060 J. Conteste las preguntas que siguen consultando la gráfica. b) ¿Qué amplitud tiene la oscilación? c) ¿Cuánto vale la energía potencial cuando el desplazamiento es de la mitad de la amplitud? d) ¿Con qué desplazamiento son iguales las energías cinética y potencial? e) ¿Cuánto vale el ángulo de fase f si la velocidad inicial es positiva y el desplazamiento inicial es negativo?

13.73. Una cubeta de 2.00 kg que contiene 10.0 kg de agua cuelga de un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 125 N>m, y os- cila verticalmente con una amplitud de 3.00 cm . De repente, la cubeta dimana una fuga en la base, goteando agua a una tasa constante de 2.00 g>s. Cuando la cubeta se vacía y queda a la mitad de su capacidad, calcule a) el periodo de oscilación y b) la tasa con la que el periodo cambia con respecto al tiempo. ¿El periodo se vuelve más largo o más corto? c) ¿Cuál es el sistema de oscilación más corto que este sistema puede tener?

13.74. Un alambre colgante tiene 1.80 m de longitud. Cuando una bola de acero de 60.0 kg se suspende del alambre, éste se estira 2.00 mm. Si se tira de la bola hacia abajo una distancia pequeña adicional y se le suelta, ¿con qué frecuencia vibrará? Suponga que el esfuerzo aplicado al alambre es menor que el límite proporcional (véase la sección 11.5).

13.75. Una perdiz de 5.00 kg cuelga de un peral mediante un resorte ideal con masa despreciable. Si se tira de la perdiz para bajarla 0.100 m con respecto a su posición de equilibrio y se suelta, vibra con un perio- do de 4.20 s. a) ¿Qué rapidez tiene al pasar por su posición de equili- brio? b) ¿Qué aceleración tiene cuando está 0.050 m arriba de dicha posición? c) Cuando está subiendo, ¿qué tiempo tarda en moverse de un punto 0.050 m debajo de su posición de equilibrio a un punto que está 0.050 m arriba? d) La perdiz se detiene y se retira del resorte. ¿Cuánto se acorta éste?

13.76. Un perno de 0.0200 kg se mueve en MAS con amplitud de 0.240 m y periodo de 1.500 s. El desplazamiento del perno es de 10.240 m cuando t 5 0. Calcule a) el desplazamiento del perno cuan- do t 5 0.500 s; b) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el perno en t 5 0.500 s; c) el tiempo mínimo que el perno tarda en mo- verse de su posición inicial al punto donde x 520.180 m; d) la rapi- dez del perno cuando x 520.180 m.

13.77. MAS de una balanza de carnicero. Un resorte con masa despreciable y constante de fuerza k 5 400 N>m cuelga verticalmente, y una bandeja de 0.200 kg se suspende de su extremo inferior. Un car- nicero deja caer un filete de 2.2 kg sobre la bandeja desde una altura de 0.40 m. El choque es totalmente inelástico y el sistema queda en MAS vertical. Calcule a) la rapidez de la bandeja y el filete justo después del choque; b) la amplitud del movimiento subsecuente; c) el periodo de ese movimiento.

13.78. Una viga uniforme de 225 kg se suspende horizontalmente de dos resortes verticales idénticos que sujetan cada extremo de la viga con el techo. Un saco de 175 kg de grava se coloca sobre el punto medio de la viga. Ésta oscila en MAS con amplitud de 40.0 cm y frecuencia de 0.600 ciclos>s. a) El saco de grava se cae de la viga cuando ésta tiene su desplazamiento máximo hacia arriba. Calcule la frecuencia y amplitud del MAS subsecuente de la viga. b) Supon- ga ahora que el saco de grava se cae cuando la viga tiene su rapidez máxima. Calcule la frecuencia y amplitud del MAS subsecuente de la viga.

13.79. En el planeta Newtonia, un péndulo simple tiene una lenteja con masa de 1.25 kg y longitud de 185.0 cm cuando se suelta del repo- so, tarda 1.42 s en describir un ángulo de 12.5° hasta un punto donde otra vez tiene rapidez cero. Se determinó que la circunferencia de Newtonia es de 51,400 km. Calcule la masa del planeta.

13.80. Una fuerza de 40.0 N estira un resorte vertical 0.250 m. a) ¿Qué masa debe colgarse del resorte para que el sistema oscile con un pe- riodo de 1.00 s? b) Si la amplitud del movimiento es de 0.050 m y el periodo es el especificado en a), ¿dónde está el objeto y en qué direc- ción se mueve 0.35 s después de haber pasado hacia abajo la posición de equilibrio? c) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) ejerce el resorte sobre el objeto cuando éste está 0.030 m bajo la posición de equilibrio al subir?

13.81. Que no la deje el barco. En una visita a Minnesota (la “tie- rra de los 10,000 lagos”), una turista se inscribe en una excursión por uno de los lagos más grandes. Cuando llega al muelle donde está atra- cado el barco de 1,500 kg, ve que la embarcación oscila verticalmen- te sobre las olas, en movimiento armónico simple con amplitud de 20 cm. El barco tarda 3.5 s en efectuar un ciclo completo de subida- bajada. Cuando está en su punto más alto, la cubierta está a la misma altura que el muelle estacionario. Al ver cómo se mece el barco, la turista (masa 60 kg) comienza a sentirse mareada (debido en parte a que la noche anterior cenó bacalao noruego), por lo que se niega a subir a bordo, a menos que la cubierta esté a menos de 10 cm del nivel del muelle. ¿De cuánto tiempo dispone para abordar el barco cómo- damente durante cada ciclo de movimiento vertical?

13.82. Un ejemplo interesante pero muy poco práctico de oscilación es el movimiento de un objeto que se deja caer por un agujero que va de un lado de la Tierra a otro pasando por el centro. Suponiendo (lo cual no es realista) que la Tierra es una esfera con densidad uniforme, demuestre que el movimiento es armónico simple y calcu- le el periodo. [Nota: la fuerza gravitacional sobre el objeto en fun- ción de la distancia r del objeto al centro de la Tierra se dedujo en el ejemplo 12.10 (sección 12.6). El movimiento es MAS si la ace- leración ax y el desplazamiento con respecto al equilibrio x están relacionados por la ecuación (13.8), y el periodo es entonces T 5 2p>v.]

13.83. Dos masas puntuales m se sostienen separadas una distancia d. Otra masa puntual M está a la mitad entre ellas. Después, M se desplaza una distancia pequeña x perpendicular a la línea que conecta las dos masas fijas y se libera. a) Demuestre que la magnitud de la fuerza de gravedad neta sobre M debida a las masas fijas está dada aproximadamente por si ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? ¿Se trata de una fuerza de restitución? b) Demuestre que la masa M oscilará con una frecuencia angular de y un periodo c) ¿Cuál sería el periodo si m 5 100 kg y d 5 25.0 cm? ¿Parece que este periodo se podría medir con facilidad? ¿Qué hace que este experimento sea difícil de realizar en un labora- torio de física común? d) ¿M oscilará si se desplaza una distancia pequeña x desde el centro hasta cualquiera de las otras masas fijas? ¿Por qué?

13.84. Para cierto oscilador, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo de masa m está dada por Fx 52cx3. a) ¿Qué función de energía po- tencial describe este oscilador, si tomamos U 5 0 en x 5 0? b) El cuerpo se mueve de x 5 0 a x 5 A en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo y de ahí el periodo. [Sugerencia: empiece en la ecuación (13.20), modificada para incluir la función de energía potencial que obtuvo en el inciso a), y despeje la velocidad vx en función de x. Lue- go, sustituya vx por dx>dt y separe la variable escribiendo todos los factores que contienen x de un lado y los que contienen t del otro, de manera que pueda integrarse cada lado. En la integral de x, haga el cambio de variables u 5 x>A. La integral resultante puede evaluarse usando métodos numéricos en una computadora y tiene el valor ] c) Según el resultado obtenido en el inciso b), ¿el periodo depende de la amplitud A del movimiento? ¿Las osci- laciones son armónicas simples?

13.85. Considere el círculo de referencia de la figura 13.6. La compo- nente x de la velocidad de Q es la velocidad de P. Calcule esta com- ponente y muestre que la velocidad de P está dada por la ecuación (13.15).

*13.86. Molécula diatómica. Dos átomos idénticos de una molécula diatómica vibran como osciladores armónicos; no obstante, su centro de masa, que está a la mitad del camino, no se mueve. a) Demuestre que, en cualquier instante, los momentos lineales de los átomos con respecto al centro de masa son y b) Demuestre que la energía ci- nética total K de los dos átomos en cualquier instante es la misma que tiene un solo objeto de masa m>2 con momento lineal de magnitud p. (Use K 5 p2>2m.) Este resultado muestra por qué debe usarse m>2 en la expresión para f del ejemplo 13.7 (sección 13.4). c) Si los átomos no son idénticos, y tienen masas m1 y m2, demuestre que aún se cumple el resultado del inciso a), y que la masa del objeto único del inciso b) es m1m2>(m1 1 m2). La cantidad m1m2>(m1 1 m2) se denomina masa re- ducida del sistema.

*13.87. Una aproximación de la energía potencial de una molécula de KCl es donde y Use esto para a) demostrar que la componen- te radial de la fuerza sobre cada átomo es y b) demostrar que R0 es la separación de equilibrio. c) Calcule la energía potencial máxima. d) Use r 5 R0 1 x y los primeros dos tér- minos del teorema binomial (ecuación 13.28) para demostrar que de modo que la constante de fuerza de la molécula sea e) Si los átomos de K y Cl vibran en direcciones opuestas en lados opuestos del centro de masa de la molécula, es la masa que debe usarse para calcular la frecuencia (véase el problema 13.86). Calcule la frecuen- cia de las vibraciones de amplitud pequeña.

13.88. Dos cilindros sólidos conectados a lo largo de su eje común por una varilla corta y ligera tienen radio R y masa total M, y descansan so- bre una mesa horizontal. Un resorte con constante de fuerza k tiene un extremo sujeto a un soporte fijo, y el otro, a un anillo sin fricción en el m1 m2/1m1 1 m22 5 3.06 3 10226 kg k 5 7A/R0 3 . Fr < 217A/R0 32x, A31R0 7/r92 2 1/r24F r 5 A 5 2.31 3 10228 J # m. R0 5 2.67 3 10210 mU 5 A31R0 7/8r82 2 1/r4, 2p S.p S ∫1 0 du/"1 2 u4 5 1.31. pd/2 "d/Gm . 14/d2 "Gm/d x V d.F net 5 16 GmMx d3

centro de masa de los cilindros (figura 13.38). Se tira de los cilindros hacia la izquierda una distancia x, estirando el resorte, y se sueltan. Hay suficiente fricción entre la mesa y los cilindros para que éstos rue- den sin resbalar al oscilar horizontalmente. Demuestre que el movi- miento del centro de masa de los cilindros es armónico simple, y calcule su periodo en términos de M y k. [Sugerencia: el movimiento es armónico simple si ax y x están relacionados por la ecuación (13.8) y por lo tanto, el periodo es Aplique y a los cilindros con la finalidad de relacionar acm-x con el desplazamiento x de los cilindros con respecto a su posición de equilibrio.] gFx 5 Macm-x gtz 5 IcmazT 5 2p/v.

13.89. En la figura 13.39, la esfera superior se suelta del reposo, cho- ca contra la esfera inferior esta- cionaria y se pega a ella. Ambos cordones tienen 50.0 cm de longi- tud. La esfera superior tiene masa de 2.00 kg y está inicialmente 10.0 cm más alta que la inferior, cuya masa es de 3.00 kg. Calcule la frecuencia y el desplazamiento angular máximo del movimien- to después del choque.

13.90. T. rex. Modele la pierna del T. rex del ejemplo 13.10 (sec- ción 13.6) como dos varillas uniformes con longitud de 1.55 m cada una y unidas rígidamente por un extremo. La varilla inferior tiene masa M, y la superior, 2M. El objeto compuesto pivota en torno a la parte superior de la varilla de arriba. Calcule el periodo de oscilación de este objeto para oscilaciones de amplitud pequeña. Compare su resultado con el del ejemplo 13.10.

13.91. Una varilla metálica delga- da y uniforme con masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpen- dicular a la varilla. Un resorte ho- rizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro extremo del resor- te se fija a un soporte rígido. La varilla se desplaza un ángulo pe- queño U con respecto a la vertical (figura 13.40) y se suelta. Demues- tre que se mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: suponga que U es suficientemente pequeño para que las aproximacio- nes sen U < U y cos U < 1 sean válidas. El movimiento es armónico simple si y el periodo es entonces T 5 2p>v.)

13.92. El problema de la campana que suena en silencio. Una campana grande de 34.0 kg cuelga de una viga de madera, de modo que puede oscilar con fricción despreciable. Su centro de masa está 0.60 m bajo el pivote, y su momento de inercia con respecto a un eje en el pivote es de 18.0 kg El badajo es una masa de 1.8 kg que # m2. d2u/dt25 2v 2u, 10.0 cm Figura 13.39 Problema 13.89. u Figura 13.40 Problema 13.91.

cuelga del extremo de una varilla delgada de longitud L y masa des- preciable. El otro extremo de la varilla está sujeto al interior de la cam- pana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qué longitud L debe tener la varilla para que la campana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilación de la cam- pana sea igual a la del badajo?

13.93. Dos varillas delgadas idén- ticas, cada una con masa m y longi- tud L, se unen en ángulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la cús- pide de un triángulo agudo (figura 13.41). Si el objeto en forma de L se desvía un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilación.

13.94. Se desea construir un pén- dulo con un periodo de 4.00 s en un lugar donde g 5 9.80 m>s2. a) ¿Qué longitud tiene un péndulo simple con este periodo? b) Supon- ga que el péndulo debe montarse en una caja que no puede tener más de 0.50 m de altura. ¿Puede inventar un péndulo con un periodo de 4.00 s que cumpla este requisito?

13.95. Una varilla uniforme de longitud L oscila con ángulo pequeño alrededor de un punto a una distancia x de su centro. a) Demuestre que su frecuencia angular es b) Demuestre que su frecuencia angular máxima se da cuando c) ¿Qué longi- tud tiene la varilla si la frecuencia angular máxima es 2>p rad>s?

Problemas de desafío

13.96. Dos resortes, ambos con longitud no estirada de 0.200 m, pero con diferentes constantes de fuerza k1 y k2, están unidos a extremos opuestos de un bloque de masa m en una superficie plana sin fricción. Ahora los extremos exteriores de los resortes se unen a dos agujas P1 y P2 que están a 0.100 m de las posiciones originales de los extremos de los resortes (figura 13.42). Sea k1 5 2.00 N>m, k2 5 6.00 N>m y m 5 0.100 kg. a) Calcule la longitud de cada resorte cuando el bloque está en su nueva posición de equilibrio, después de que los resortes se fijan a las agujas. b) Calcule el periodo de vibración del bloque, si se des- plaza un poco de su nueva posición de equilibrio y se suelta. x 5 L/"12 ." gx/31L2/122 1 x24 .

13.97. Constante de fuerza efectiva de dos resortes. Dos resortes con la misma longitud no estirada, pero diferentes constantes de fuer- za k1 y k2, se unen a un bloque de masa m en una superficie plana sin fricción. Calcule la constante de fuerza efectiva kefe en cada uno de los tres casos: a), b) y c) de la figura 13.43. (La constante de fuerza efectiva está definida por d) Un objeto de masa m, suspendido de un resorte uniforme con constante de fuerza k, vibra con una frecuencia f1. Si el resorte se parte a la mitad y el mismo ob- jeto se cuelga de una de las mitades, la frecuencia es f2. Determine la relación f2>f1. gFx 52 kefe x.)

13.98. a) Determine el cambio DT del periodo de un péndulo simple cuando la aceleración debida a la gravedad cambia en Dg. (Sugeren- cia: el nuevo periodo T 1DT se obtiene sustituyendo g 1Dg por g:

Para obtener una expresión aproximada, expanda el factor (g 1 Dg)21>2 usando el teorema binomial (Apéndice B) y conservando sólo los primeros dos términos:

Los demás términos contienen potencias mayores de Dg y son muy pe- queños si Dg es pequeño.) Exprese su resultado como el cambio frac- cionario del periodo DT>T, en términos del cambio fraccionario Dg>g. b) Un reloj de péndulo da la hora correcta en un punto donde g 5 9.8000 m>s2, pero se atrasa 4.0 s cada día a una altura mayor. Use el re- sultado del inciso a) para calcular el valor aproximado de g en este nuevo lugar.

13.99. Resorte con masa. En todos los problemas anteriores del ca- pítulo, hemos supuesto que los resortes tienen masa despreciable aun- que, desde luego, ningún resorte carece por completo de masa. Para determinar el efecto de la masa de un resorte, considere un resorte de masa M, con longitud de equilibrio L0 y constante de fuerza k. Si el re- sorte se estira o comprime a una longitud L, la energía potencial es donde x 5 L 2 L0. a) Considere un resorte como éste con un ex- tremo fijo y el otro en movimiento con rapidez v. Suponga que la ra- pidez de los puntos a lo largo del resorte varía linealmente con la distancia l al extremo fijo, y que la masa M del resorte está distribuida uniformemente a todo lo largo del resorte. Calcule la energía cinética del resorte en términos de M y v. (Sugerencia: divida el resorte en partes de longitud dl; determine la rapidez de cada parte en términos de l, v y L; determine la masa de cada parte en términos de dl, M y L; e integre de 0 a L. El resultado no es ya que no todo el resorte se mueve con la misma rapidez.) b) Obtenga la derivada de la ecuación de conservación de la energía (ecuación 13.21) con respecto al tiem- po, para una masa m que se mueve en el extremo de un resorte sin ma- sa. Comparando sus resultados con la ecuación (13.8), que define v, demuestre que la frecuencia angular de oscilación es c) Aplique el procedimiento del inciso b) para obtener la frecuencia angular de oscilación v del resorte considerado en el inciso a). Si la v5"k/m .

Problemas de desafío 455

masa efectiva Mr del resorte está definida por exprese Mr en términos de M.

13.100. Una cinta métrica uniforme (con longitud de 1.00 m) cuelga de un eje horizontal por un extremo y oscila como péndulo físico. Un ob- jeto pequeño con masa igual a la de la cinta métrica se sujeta a la mis- ma a una distancia y por debajo del eje. Sea T el periodo del sistema con el cuerpo pegado y T0 el periodo de la cinta métrica sola. a) Deter- mine la relación T>T0. Evalúe su expresión para valores de y desde 0 hasta 1.0 m en incrementos de 0.1 m, y grafique T>T0 contra y. b) ¿Hay algún valor de y, distinto de y 5 0, para el que T 5 T0? Si lo hay, en- cuéntrelo y explique por qué el periodo no cambia cuando y tiene ese valor.

13.101. Se determina que el periodo de un péndulo físico alrededor de un punto pivote es T. Luego se encuentra otro punto pivote en el lado opuesto del centro de masa que da el mismo periodo. Los dos puntos están separados una distancia L. Use el teorema de ejes paralelos para demostrar que (Este resultado sugiere una forma de calcular g sin conocer la masa ni ningún momento de inercia del pén- dulo físico.)

13.102. Resonancia en un sistema mecánico. Una masa m está uni- da al extremo de un resorte sin masa con constante de fuerza k y longi- tud no estirada l0. El otro extremo del resorte puede girar libremente alrededor de un clavo incrustado en una superficie horizontal sin fric- ción (figura 13.44). Se hace que la masa gire en un círculo con fre- cuencia angular de vr. a) Calcule la longitud l del resorte en función de vr. b) ¿Cómo cambia el resultado del inciso a) cuando vr se acerca a la frecuencia natural del sistema masa-resorte? (Si el re- sultado le parece extraño, recuerde que los resortes sin masa y las su- perficies sin fricción no existen; sólo son descripciones aproximadas de resortes y superficies reales. Además, la ley de Hooke misma es sólo una aproximación al comportamiento de los resortes reales; cuan- to más se alargue un resorte, más se desviará su comportamiento de la ley de Hooke.) v5"k/m g 5 L12p/T22. v5"k/Mr ,

*13.103. Vibración de una molécula con enlace covalente. Muchas moléculas diatómicas (de dos átomos) están unidas por enlaces cova- lentes que son mucho más fuertes que la interacción de Van der Waals. Ejemplos de ello son H2, O2 y N2. Los experimentos indican que, en el caso de muchas de tales moléculas, la interacción puede describirse con una fuerza de la forma donde A y b son constantes positivas, r es la separación de los cen- tros de los átomos y R0 es la separación de equilibrio. Para la molécula de hidrógeno y Calcule la constante de fuerza para oscilaciones pequeñas alrededor del equilibrio. (Sugerencia: use la expansión de ex dada en el Apéndice B.) Compare su resultado con el valor dado en el ejercicio 13.40.

14 Preguntas para análisis

P14.1. Un cubo de madera de roble con caras muy lisas normalmente flota en el agua. Suponga que usted sumerge ese cubo por completo y presiona una de sus caras contra el fondo del tanque, de manera que no haya agua debajo de esa cara. ¿El bloque flotará a la superficie? ¿Exis- te una fuerza de flotación sobre él? Explique su respuesta. P14.2. Una manguera de hule se conecta a un embudo y el extremo li- bre se dobla hacia arriba. Si se vierte agua en el embudo, sube al mis- mo nivel en la manguera que en el embudo, a pesar de que éste tiene mucha más agua. ¿Por qué? ¿Qué es lo que soporta el peso extra del agua en el embudo?

P14.3. Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 de las secciones 14.1 y 14.2, parece que 700 N de aire ejercen una fuerza hacia abajo de 2.0 3 106 N sobre el piso. ¿Cómo es posible? P14.4. La ecuación (14.7) indica que una razón de área de 100 a 1 pue- de dar 100 veces más fuerza de salida que de entrada. ¿No viola esto la conservación de la energía? Explique. P14.5. Tal vez haya notado que, cuanto menor es la presión de un neu- mático, mayor es el área de contacto entre él y el pavimento. ¿Por qué? P14.6. Un globo de aire caliente se llena con aire calentado por un quemador en la base. ¿Por qué debe calentarse el aire? ¿Cómo se con- trola el ascenso y el descenso?

P14.7. Al describir el tamaño de un barco grande, se dice por ejemplo, “desplaza 20,000 toneladas”. ¿Qué significa esto? ¿Se puede obtener el peso del barco a partir de este dato? P14.8. Se deja caer una esfera sólida de aluminio en un balde de agua que descansa en el suelo. La fuerza de flotación es igual al peso del agua desplazada, que es menor que el peso de la esfera, así que ésta se hunde. Si llevamos el balde a un elevador que acelera hacia arriba, el peso aparente del agua aumenta y, por lo tanto, aumenta la fuerza de flotación que actúa sobre la esfera. ¿La aceleración del elevador podría ser tan grande para hacer que la esfera flote en el agua? Explique su respuesta. P14.9. Un dirigible rígido más ligero que el aire, lleno de helio, no puede elevarse indefinidamente. ¿Por qué no? ¿Qué determina la alti- tud máxima alcanzable? P14.10. La presión del aire disminuye al aumentar la altitud. ¿Por qué entonces el aire cerca de la superficie no es succionado continuamente hacia las regiones altas que están a menor presión? P14.11. Puede probarse la pureza del oro pesándolo en aire y en agua. ¿Cómo? ¿Cree que podría hacer pasar por oro un lingote de material más barato chapeado con oro? P14.12. Durante la gran inundación del río Mississippi de 1993, los di- ques en San Luis tendían a romperse primero en la base. ¿Por qué? P14.13. Un barco carguero viaja del Océano Atlántico (agua salada) al lago Ontario (agua dulce) por el río San Lorenzo. El barco se sume va- rios centímetros más en el agua del lago que en el océano. Explique por qué. P14.14. Usted empuja un trozo de madera para que quede bajo la su- perficie de una alberca. Después de que está sumergido por completo, usted sigue empujándolo más y más profundamente. Conforme usted hace esto, ¿qué sucederá a la fuerza de flotación sobre el trozo de ma- dera? ¿Esta fuerza seguirá aumentando, permanecerá igual o disminui- rá? ¿Por qué? P14.15. Una antigua pregunta reza así: “¿Qué pesa más, una libra de plumas o una de plomo?” Si el peso en libras es la fuerza gravitacional, ¿una libra de plumas equilibrará una libra de plomo en charolas opues- tas de una balanza de brazos iguales? Explique, considerando las fuer- zas de flotación. P14.16. Suponga que la puerta de un cuarto embona herméticamente, pero sin fricción en su marco. ¿Cree que podría abrir la puerta si la pre- sión del aire en un lado fuera la presión atmosférica estándar y en el otro difiriera en un 1%? Explique su respuesta. P14.17. A cierta profundidad en un líquido incompresible, la presión absoluta es p. Al doble de esa profundidad, ¿la presión absoluta será igual a 2p, mayor que 2p o menor que 2p? Justifique su respuesta. P14.18. Un trozo de hierro está pegado encima de un bloque de made- ra. Si éste se coloca en una cubeta de agua con el hierro arriba, flota. Ahora se voltea el bloque para que el hierro quede sumergido bajo el bloque. ¿El bloque flotará o se hundirá? ¿El nivel de agua en la cubeta subirá, bajará o no cambiará? Explique. P14.19. Se toma una jarra de vidrio vacía y se mete en un tanque de agua con la boca hacia abajo, atrapando el aire dentro de la jarra. Si se mete más la jarra en el agua, ¿la fuerza de flotación que actúa sobre la jarra permanece igual? Si no es así, ¿aumenta o disminuye? Explique su respuesta. P14.20. Imagine que flota en una canoa en el centro de una alberca. Una amiga está en la orilla, tomando nota del nivel exacto del agua en la pared de la alberca. Usted lleva consigo en la canoa una bola de boliche, la cual deja caer cuidadosamente por la borda. La bola se hunde hasta el fondo de la alberca. ¿El nivel de agua en la alberca su- be o baja?

P14.21. Imagine que flota en una canoa en el centro de una alberca. Un ave grande llega volando y se posa en su hombro. ¿El nivel de agua en la alberca sube o baja? P14.22. A cierta profundidad en el océano incompresible, la presión manométrica es pg. Al triple de esa profundidad, ¿la presión manomé- trica será mayor que 3pg, igual a 3pg o menor que 3pg? Justifique su respuesta. P14.23. Un cubo de hielo flota en un vaso de agua. Al derretirse el hielo, ¿el nivel de agua en el vaso subirá, bajará o permanecerá igual? Explique. P14.24. Alguien afirma lo siguiente: “La ecuación de Bernoulli nos di- ce que, donde la rapidez del fluido es más alta, la presión es más baja, y viceversa”. ¿Es verdad siempre esa afirmación, incluso en el caso de un fluido idealizado? Explique. P14.25. Si en un fluido en flujo estable la velocidad en cada punto es constante, ¿cómo puede acelerar una partícula de fluido? P14.26. En una exhibición de escaparate, una pelota de ping-pong está suspendida en un chorro de aire expulsado por la manguera de salida de una aspiradora de tanque. La pelota se mueve un poco pero siempre regresa al centro del chorro, aunque éste no sea vertical. ¿Cómo ilustra este comportamiento la ecuación de Bernoulli? P14.27. Un tornado consiste en un vórtice de aire que gira rápidamen- te. ¿Por qué la presión es mucho más baja en el centro que afuera? ¿Cómo explica esto la potencia destructiva de un tornado? P14.28. Los aeropuertos a gran altitud tienen pistas más largas para los despegues y aterrizajes, que los aeropuertos que están al nivel del mar. Una razón para ello es que los motores de los aviones desarrollan me- nos potencia en el aire enrarecido presente a mayor altitud. Cite otra razón. P14.29. Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo, se adelgaza al caer. Explique este fenómeno.

P14.30. Dos cubos de idéntico tamaño, uno de plomo y el otro de alu- minio, están suspendidos a diferentes profundidades por medio de dos alambres en un tanque de agua (figura 14.32). a) ¿Cuál de ellos experi- menta una mayor fuerza de flotación? b) ¿Para cuál de los dos es ma- yor la tensión en el alambre? c) ¿Cuál de ellos experimenta una mayor fuerza sobre su cara inferior? d) ¿Para cuál de ellos la diferencia en la presión entre las caras superior e inferior es mayor?

Ejercicios Sección 14.1

Mecánica de fluidos

Densidad

14.1. Usted realiza un trabajo de medio tiempo, y un supervisor le pide traer del almacén una varilla cilíndrica de acero de 85.8 cm de longitud y 2.85 cm de diámetro. ¿Necesitará usted un carrito? (Para contestar, calcule el peso de la varilla.)

14.2. Millas por kilogramo. La densidad de la gasolina es de 737 kg>m3. Si su nuevo auto híbrido rinde 45.0 millas por galón de gasoli- na, ¿cuál es el millaje en millas por kilogramo de gasolina? (Véase el Apéndice E.)

14.3. Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5.0 3 15.0 3 30.0 mm y masa de 0.0158 kg. El vendedor le dice que es de oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la pieza. ¿Qué valor obtiene? ¿Fue una estafa?

14.4. Lingote de oro. Usted gana la lotería y decide impresionar a sus amigos exhibiendo un cubo de oro de un millón de dólares. En ese momento, el oro tiene un precio de venta de $426.60 por onza troy, y 1.0000 onza troy es igual a 31.1035 g. ¿Qué tan alto debe ser su cubo de un millón de dólares?

14.5. Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio tienen la mis- ma masa. ¿Cuál es la razón entre el radio de la esfera de aluminio y el de la esfera de plomo?

14.6. a) Calcule la densidad media del Sol. b) Calcule la densidad me- dia de una estrella de neutrones que tiene la misma masa que el Sol pe- ro un radio de sólo 20.0 km.

14.7. Un tubo cilíndrico hueco de cobre mide 1.50 m de longitud, tiene un diámetro exterior de 3.50 cm y un diámetro interior de 2.50 cm. ¿Cuánto pesa?

Sección 14.2

Presión en un fluido

14.8. Fumarolas oceánicas. Las fumarolas oceánicas son respirade- ros volcánicos calientes que emiten humo en las profundidades del le- cho oceánico. En muchas de ellas pululan criaturas exóticas, y algunos biólogos piensan que la vida en la Tierra pudo haberse originado alre- dedor de esos respiraderos. Las fumarolas varían en profundidad de unos 1500 m a 3200 m por debajo de la superficie. ¿Cuál es la presión manométrica en una fumarola oceánica de 3200 m de profundidad, su- poniendo que la densidad del agua no varía? Exprese su respuesta en pascales y atmósferas.

14.9. Océanos en Marte. Los científicos han encontrado evidencia de que en Marte pudo haber existido alguna vez un océano de 0.500 km de profundidad. La aceleración debida a la gravedad en Marte es de 3.71 m>s2. a) ¿Cuál habría sido la presión manométrica en el fondo de tal océano, suponiendo que era de agua dulce? b) ¿A qué profundidad de los océanos terrestres se experimenta la misma presión manométrica?

14.10. a) Calcule la diferencia en la presión sanguínea entre los pies y la parte superior de la cabeza o coronilla de una persona que mide 1.65 m de estatura. b) Considere un segmento cilíndrico de un vaso sanguíneo de 2.00 cm de longitud y 1.50 mm de diámetro. ¿Qué fuerza externa adicional tendría que resistir tal vaso sanguíneo en los pies de la persona, en comparación con un vaso similar en su cabeza?

14.11. En la alimentación intravenosa, se inserta una aguja en una vena del brazo del paciente y se conecta un tubo entre la aguja y un depó- sito de fluido (densidad 1050 kg>m3) que está a una altura h sobre el brazo. El depósito está abierto a la atmósfera por arriba. Si la presión manométrica dentro de la vena es de 5980 Pa, ¿qué valor mínimo de h permite que entre fluido en la vena? Suponga que el diámetro de la aguja es suficientemente grande como para despreciar la viscosidad (véase la sección 14.6) del fluido.

14.12. Un barril contiene una capa de aceite de 0.120 m sobre 0.250 m de agua. La densidad del aceite es de 600 kg>m3. a) ¿Qué presión ma- nométrica hay en la interfaz aceite-agua? b) ¿Qué presión manométri- ca hay en el fondo del barril?

14.13. Los neumáticos de un automóvil de 975 kg están inflados a “32.0 libras”. a) ¿Cuáles son la presión absoluta y manométrica en es- tos neumáticos en lb>in2, Pa y atm? b) Si los neumáticos fueran perfec- tamente redondos, ¿la presión en ellos podría ejercer alguna fuerza sobre el pavimento? (Suponga que las paredes del neumático son flexi- bles, de manera que la presión ejercida por el neumático sobre el pavi- mento es igual a la presión de aire dentro del neumático.) c) Si examinamos los neumáticos de un auto, es obvio que hay cierto apla- namiento en la parte inferior. ¿Cuál es el área total de contacto de la parte aplanada de los cuatro neumáticos con el pavimento?

14.14. Se está diseñando una campana de buceo que resista la presión del mar a 250 m de profundidad. a) ¿Cuánto vale la presión manomé- trica a esa profundidad? (Desprecie el cambio en la densidad del agua con la profundidad.) b) A esa profundidad, ¿qué fuerza neta ejercen el agua exterior y el aire interior sobre una ventanilla circular de 30.0 cm de diámetro si la presión dentro de la campana es la que hay en la su- perficie del agua? (Desprecie la pequeña variación de presión sobre la superficie de la ventanilla.)

14.15. ¿Qué presión manométrica debe producir una bomba para subir agua del fondo del Gran Cañón (elevación 730 m) a Indian Gardens (elevación 1370 m)? Exprese sus resultados en pascales y en atmósferas.

14.16. El líquido del manómetro de tubo abierto de la figura 14.9a es mercurio, y1 5 3.00 cm y y2 5 7.00 cm. La presión atmosférica es de 980 milibares. a) ¿Qué presión absoluta hay en la base del tubo en U? b) ¿Y en el tubo abierto 4.00 cm abajo de la superficie libre? c) ¿Qué presión absoluta tiene el aire del tanque? d) ¿Qué presión manométrica tiene el gas en pascales?

14.17. Hay una profundidad máxima a la que un buzo puede respirar por un “snorkel” (fi- gura 14.33) pues, al aumentar la profundidad, aumenta la diferencia de presión que tiende a colapsar los pulmones del buzo. Como el snorkel conecta los pulmones con la atmós- fera, la presión en ellos es la atmosférica. Calcule la diferencia de presión interna-ex- terna cuando los pulmones del buzo están a 6.1 m de profundidad. Suponga que el buzo está en agua dulce. (Un buzo que respira el aire comprimido de un tanque puede operar a mayores profundidades que uno que usa snorkel, porque la presión del aire dentro de los pulmones aumenta hasta equilibrar la presión externa del agua.)

14.18. Un cilindro alto con área transversal de 12.0 cm2 se llenó parcialmente con mer- curio hasta una altura de 5.00 cm. Se vierte lentamente agua sobre el mercurio (estos dos líquidos no se mezclan). ¿Qué volumen de agua deberá agregarse para aumentar al doble la presión manométrica en la base del cilindro?

14.19. Un lago en el norte de Yukón, Canadá, está cubierto con una ca- pa de hielo de 1.75 m de espesor. Calcule la presión absoluta y la pre- sión manométrica a una profundidad de 2.50 m en el lago.

14.20. Un recipiente cerrado se llena parcialmente con agua. En un principio, el aire arriba del agua está a presión atmosférica (1.01 3 105 Pa) y la presión manométrica en la base del recipiente es de 2500 Pa. Después, se bombea aire adicional al interior, aumentando la pre- sión del aire sobre el agua en 1500 Pa. a) Calcule la nueva presión ma- nométrica en el fondo. b) ¿Cuánto deberá reducirse el nivel del agua en el recipiente (extrayendo agua a través de una válvula en el fondo) pa- ra que la presión manométrica en el fondo vuelva a ser de 2500 Pa? La presión del aire sobre el agua se mantiene a 1500 Pa sobre la presión atmosférica.

14.21. Un cortocircuito deja sin electricidad a un submarino que está 30 m bajo la superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe em- pujar hacia fuera una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75 m2 y pesa 300 N. Si la presión interior es de 1.0 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercer sobre la escotilla para abrirla?

14.22. Exploración de Venus. La presión superficial en Venus es de 92 atm, y la aceleración debida a la gravedad ahí es de 0.894 g. En una futura misión exploratoria, un tanque cilíndrico vertical de benceno está sellado en el extremo superior, pero aun así sigue presurizado a 92 atm justo por encima del benceno. El tanque tiene un diámetro de 1.72 m, y la columna de benceno mide 11.50 m de alto. Ignore los efectos debidos a la temperatura extremadamente alta de Venus. a) Calcule la fuerza total ejercida sobre la superficie interior de la base del tanque. b) ¿Qué fuerza ejerce la atmósfera de Venus sobre la su- perficie exterior de la base del tanque? c) Calcule la fuerza total inte- rior que ejerce la atmósfera sobre las paredes verticales del tanque.

14.23. Un disco cilíndrico de ma- dera que pesa 45.0 N y tiene un diámetro de 30.0 cm flota sobre un cilindro de aceite cuya den- sidad es de 0.850 g>cm3 (fi- gura 14.34). El cilindro de aceite mide 75.0 cm de alto y tiene un diámetro igual al cilindro de ma- dera. a) Calcule la presión mano- métrica en la parte superior de la columna de aceite. b) Ahora su- ponga que alguien coloca un pe- so de 83.0 N en la parte superior del disco de madera, pero el acei- te no se escurre alrededor del borde de la madera. ¿Cuál es el cambio en la presión i) en la base del aceite y ii) a la mitad de la columna de aceite?

14.24. Elevador hidráulico I. Para el elevador hidráulico que se ilustra en la figura 14.8, ¿cuál debe ser la razón entre el diámetro del recipiente bajo el auto y el diámetro del recipiente donde se aplica la fuerza F1, de manera que el auto de 1520 kg pueda ser levantado con una fuerza F1 de sólo 125 N?

14.25. Elevador hidráulico II. El pistón de un elevador hidráulico para autos tiene 0.30 m de diámetro. ¿Qué presión manométrica, en pascales y en atm, se requiere para levantar un auto de 1200 kg?

Sección 14.3

Flotación

14.26. Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce. ¿Qué volu- men mínimo debe tener para que una mujer de 45.0 kg pueda ponerse de pie sobre ella sin mojarse los pies?

14.27. Una muestra de mineral pesa 17.50 N en el aire, pero, si se cuel- ga de un hilo ligero y se sumerge por completo en agua, la tensión en el hilo es de 11.20 N. Calcule el volumen total y la densidad de la muestra.

14.28. Usted está preparando un aparato para hacer una visita a un pla- neta recientemente descubierto llamado Caasi, el cual tiene océanos de glicerina y una aceleración superficial debida a la gravedad de 4.15 m>s2. Si el aparato flota en los océanos de la Tierra con el 25.0% de su volumen sumergido, ¿qué porcentaje se sumergirá en los océanos de glicerina de Caasi?

14.29. Un objeto con densidad media r flota sobre un fluido de den- sidad rfluido. a) ¿Qué relación debe haber entre las dos densidades? b) A la luz de su respuesta en el inciso a), ¿cómo pueden flotar bar- cos de acero en el agua? c) En términos de r y rfluido, ¿qué fracción del objeto está sumergida y qué fracción está sobre el fluido? Verifi- que que sus respuestas den el comportamiento correcto en el límite donde r S rfluido y donde r S 0. d) Durante un paseo en yate, un primo suyo recorta una pieza rectangular (dimensiones: 5.0 3 4.0 3 3.0 cm) de un salvavidas y la tira al mar, donde flota. La masa de la pieza es

de 42 g. ¿Qué porcentaje de su volumen está sobre la superficie del océano?

14.30. Una esfera hueca de plástico se mantiene por debajo de la su- perficie de un lago de agua dulce mediante una cuerda anclada al fon- do del lago. La esfera tiene un volumen de 0.650 m3 y la tensión en la cuerda es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación que ejerce el agua sobre la esfera. b) ¿Cuál es la masa de la esfera? c) La cuerda se rompe y la esfera se eleva a la superficie. Cuando la esfera llega al reposo, ¿qué fracción de su volumen estará sumergida?

14.31. Un bloque cúbico de madera de 10.0 cm por lado flota en la inter- faz entre aceite y agua con su super- ficie inferior 1.50 cm bajo la interfaz (figura 14.35). La densidad del aceite es de 790 kg>m3. a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie su- perior del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tiene el bloque?

14.32. Un lingote de aluminio sólido pesa 89 N en el aire. a) ¿Qué volu- men tiene? b) El lingote se cuelga de una cuerda y se sumerge por completo en agua. ¿Qué tensión hay en la cuerda (el peso aparente del lingote en agua)?

14.33. Una roca cuelga de un hilo ligero. Cuando está en el aire, la ten- sión en el hilo es de 39.2 N. Cuando está totalmente sumergida en agua, la tensión es de 28.4 N. Cuando está totalmente sumergida en un líquido desconocido, la tensión es de 18.6 N. Determine la densidad del líquido desconocido.

Sección 14.4 Flujo de fluido

14.34. Corre agua hacia una fuente, llenando todos los tubos a una tasa constante de 0.750 m>s3. a) ¿Qué tan rápido saldrá por un agujero de 4.50 cm de diámetro? b) ¿Con qué rapidez saldrá si el diámetro del agujero es tres veces más grande?

14.35. Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de 1.00 mm. La regadera está conectada a un tubo de 0.80 cm de radio. Si la rapidez del agua en el tubo es de 3.0 m>s, ¿con qué rapidez saldrá de los agujeros de la regadera?

14.36. Fluye agua por un tubo de sección transversal variable, llenán- dolo en todos sus puntos. En el punto 1, el área transversal del tubo es de 0.070 m2, y la rapidez del fluido es de 3.50 m>s. ¿Qué rapidez tiene el fluido en puntos donde el área transversal es de a) 0.105 m2? b) ¿0.047 m2? c) Calcule el volumen de agua descargada del extremo abierto del tubo en 1.00 h

. 14.37. Fluye agua por un tubo circular de sección transversal varia- ble, llenándolo en todos sus puntos. a) En un punto, el radio del tubo de 0.150 m. ¿Qué rapidez tiene el agua en este punto si la tasa esta- ble de flujo de volumen en el tubo es de 1.20 m3>s? b) En otro punto, la rapidez del agua es de 3.80 m>s. ¿Qué radio tiene el tubo en este punto?

14.38. a) Deduzca la ecuación (14.12). b) Si la densidad aumen- ta en 1.50% del punto 1 al 2, ¿qué sucede con la tasa de flujo de volumen?

Sección 14.5 Ecuación de Bernoulli

14.39. Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altura de 11.0 m contiene también aire sobre el agua a una presión manométrica de 3.00 atm. Sale agua del tanque a través de un agujero pequeño en el fondo. Calcule la rapidez de salida del agua.

14.40. Se corta un agujero circular de 6.00 mm de diámetro en el cos- tado de un tanque grande de agua, 14.0 m debajo del nivel del agua en el tanque. El tanque está abierto al aire por arriba. Calcule a) la rapidez de salida del agua y b) el volumen descargado por segundo. 1

4.41. ¿Qué presión manométrica se requiere en una toma municipal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos conectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Suponga que la toma tiene un diámetro mucho mayor que la manguera.)

14.42. En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3.00 m>s y la presión manométrica es de 5.00 3 104 Pa. Calcule la presión mano- métrica en otro punto de la tubería, 11.0 m más abajo, si el diámetro del tubo ahí es el doble que en el primer punto. 1

4.43. Sustentación en un avión. El aire fluye horizontalmente por las alas de una avioneta de manera que su rapidez es de 70.0 m>s arriba del ala y 60.0 m>s debajo. Si las alas de la avioneta tienen una área de 16.2 m2, considerando la parte superior e inferior, ¿qué fuerza vertical neta ejerce el aire sobre la nave? La densidad del aire es de 1.20 kg>m3.

14.44. Una bebida no alcohólica (principalmente agua) fluye por una tubería de una planta embotelladora con una tasa de flujo de masa que llenaría 220 latas de 0.355 L por minuto. En el punto 2 del tubo, la pre- sión manométrica es de 152 kPa y el área transversal es de 8.00 cm2. En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el área transversal es de 2.00 cm2. Calcule a) la tasa de flujo de masa; b) la tasa de flujo de volumen; c) la rapidez de flujo en los puntos 1 y 2; d) la presión manométrica en el punto 1.

14.45. En cierto punto de una tubería horizontal, la rapidez del agua es de 2.50 m>s y la presión manométrica es de 1.80 3 104 Pa. Calcule la presión manométrica en un segundo punto donde el área transversal es el doble que en el primero.

14.46. Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubo horizontal a razón de 7200 cm3>s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la presión absoluta del agua es de 2.40 3 105 Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa constricción?

Problemas

14.47. En una demostración en la clase, el profesor separa con facili- dad dos cascos hemisféricos de acero (diámetro D) usando las asas con las que están provistos. Luego los une, extrae el aire hasta una presión absoluta p, y se los da a un fisicoculturista que está sentado en la última fila del salón para que los separe. a) Si la presión atmos- férica es p0, ¿qué fuerza deberá ejercer el fisicoculturista sobre cada casco? b) Evalúe su respuesta para el caso en que p 5 0.025 atm y D 5 10.0 cm.

14.48. El punto más profundo conocido de los océanos es la Fosa de las Marianas, con una profundidad de 10.92 km. a) Suponiendo que el agua es incompresible, ¿qué presión hay a esa profundidad? Use la densidad del agua de mar. b) La presión real es de 1.16 3 108 Pa; su valor calculado será menor porque la densidad en realidad varía con la profundidad. Usando la compresibilidad del agua y la presión real, calcule la densidad del agua en el fondo de la fosa. ¿Cuál es el cambio porcentual que se registra en la densidad del agua?

14.49. Una piscina mide 5.0 m de longitud, 4.0 m de ancho y 3.0 m de profundidad. Calcule la fuerza que ejerce el agua contra a) el fondo y b) cualquiera de las paredes. (Sugerencia: calcule la fuerza que actúa sobre una tira horizontal delgada a una profundidad h, e integre a lo al- to del extremo de la piscina.) No incluya la fuerza debida a la presión del aire.

14.50. El borde superior de una compuerta en una presa está al ni- vel de la superficie del agua. La compuerta mide 2.00 m de altura y 4.00 m de ancho, y pivota sobre una línea horizontal que pasa por

su centro (figura 14.36). Calcule la torca en torno al pivote causa- do por la fuerza que ejerce el agua. (Sugerencia: use un proce- dimiento similar al del problema 14.49: calcule la torca de una tira horizontal delgada a una profun- didad h e integre a lo alto de la compuerta.)

14.51. Fuerza y torca sobre una presa. Una presa tiene forma de sólido rectangular. El lado que da al lago tiene área A y altura H. La su- perficie del lago de agua dulce detrás de la presa llega al borde supe- rior de ésta. a) Demuestre que la fuerza horizontal neta ejercida por el agua sobre la presa es , es decir, la presión manométrica media sobre la cara de la presa multiplicada por el área (véase el problema 14.49). b) Demuestre que la torca que ejerce el agua alrededor de un eje que corre a lo largo de la base de la presa es rgH2A>6. c) ¿Cómo dependen la fuerza y la torca del tamaño del lago?

14.52. Submarinos en Europa. Algunos científicos están ansiosos por enviar un submarino de control remoto a Europa, una de las lu- nas de Júpiter, para investigar si hay vida en sus océanos debajo de la capa de hielo. La masa de Europa, según las mediciones, es de 4.78 3 1022 kg, su diámetro es de 3130 km y no tiene una atmósfera apre- ciable. Suponga que la capa de hielo en la superficie no es suficien- temente gruesa para ejercer una fuerza sustancial sobre el agua. Si las ventanillas del submarino que se está diseñando miden 25.0 cm por lado y cada una puede soportar una fuerza interna máxima de 9750 N, ¿cuál es la profundidad máxima a la que el submarino puede sumergir- se de manera segura?

14.53. Un astronauta está de pie en el polo norte de un planeta esféri- camente simétrico recién descubierto, cuyo radio es R. En las manos, sostiene un recipiente lleno con un líquido de masa m y volumen V. En la superficie del líquido, la presión es p0; a una profundidad d bajo la superficie, la presión tiene un valor más grande p. A partir de esta in- formación, determine la masa del planeta.

14.54. Globos en Marte. Se ha propuesto que podría explorarse Marte utilizando globos inflados sostenidos justo arriba de la super- ficie. La flotación de la atmósfera mantendría los globos en el aire. La densidad de la atmósfera marciana es de 0.0154 kg>m3 (aunque esto varía con la temperatura). Suponga que se fabrican estos globos de un plástico delgado pero resistente con una densidad tal que cada metro cuadrado tiene una masa de 5.00 g. Los inflamos con un gas muy ligero cuya masa puede despreciarse. a) ¿Cuáles deberían ser el radio y la masa de estos globos de manera que se sostengan en el aire justo arriba de la superficie de Marte? b) Si liberamos uno de esos globos del inciso a) en la Tierra, donde la densidad atmosféri- ca es de 1.20 kg>m3, ¿cuál sería su aceleración inicial suponiendo que el globo tiene el mismo tamaño que en Marte? ¿Ascendería o des- cendería? c) Si en Marte estos globos tienen cinco veces el radio de- terminado en el inciso a), ¿qué peso de un paquete de instrumentos podrían cargar?

14.55. La Tierra no tiene densidad uniforme; es más densa en el cen- tro y menos densa en la superficie. Una aproximación a su densidad es r(r) 5 A 2 Br, donde A 5 12,700 kg>m3 y B 5 1.50 3 1023 kg>m4. Utilice R 5 6.37 3 106 m para el radio de la Tierra aproximada como una esfera. a) Los indicios geológicos sugieren que las densidades son 13,100 kg>m3 en el centro y 2400 kg>m3 en la superficie. ¿Qué valores da el modelo de aproximación lineal para las densidades en estos dos lugares? b) Imagine que divide la Tierra en capas esféricas concéntri- cas. Cada capa tiene radio r, espesor dr, volumen dV 5 4pr2 dr y ma- sa dm 5r (r)dV. Integrando de r 5 0 a r 5 R, demuestre que la masa de la Tierra en este modelo es c) Demues- tre que los valores dados para A y B dan la masa de la Tierra con un error de menos del 0.4%. d) En la sección 12.6 vimos que un casco esférico uniforme no contribuye a g en su interior. Demuestre que dentro de la Tierra en este modelo. e) Verifi- que que la expresión del inciso d) da g 5 0 en el centro de la Tierra y g 5 9.85 m>s2 en la superficie. f) Demuestre que, en este modelo, g no disminuye de manera uniforme con la profundidad, sino que tiene un máximo de 4pGA2>9B 5 10.01 m>s2 en r 5 2A>3B 5 5640 km.

14.56. En el ejemplo 12.10 (sección 12.6) vimos que, dentro de un pla- neta con densidad uniforme (una suposición poco realista para la Tie- rra), la aceleración debida a la gravedad aumenta de manera uniforme con la distancia al centro. Es decir, g(r) 5 gsr>R, donde gs es la acele- ración debida a la gravedad en la superficie, r es la distancia al centro del planeta y R es el radio del planeta. El interior del planeta puede tratarse aproximadamente como fluido incompresible con densidad r. a) Sustituya la altura y de la ecuación (14.4) por la coordenada radial r e integre para determinar la presión dentro de un planeta uniforme en función de r. Sea cero la presión en la superficie. (Esto implica despre- ciar la presión de la atmósfera del planeta.) b) Usando este modelo, calcule la presión en el centro de la Tierra. (Use un valor de r igual a la densidad media de la Tierra, calculada con la masa y el radio dados en el Apéndice F.) c) Los geólogos estiman que la presión en el centro de la Tierra es de aproximadamente 4 3 1011 Pa. ¿Concuerda esto con su cálculo para la presión en r 5 0? ¿Qué podría explicar las diferencias, si las hay?

14.57. Un tubo en forma de U abierto por ambos extremos contiene un poco de mercurio. Se vierte con cuidado un poco de agua en el brazo izquierdo del tubo hasta que la altura de la columna de agua es de 15.0 cm (figura 14.37). a) Calcule la presión manométrica en la interfaz agua-mercurio. b) Calcule la distancia vertical h entre la su- perficie del mercurio en el brazo derecho del tubo y la superficie del agua en el brazo izquierdo.

14.58. La gran inundación de melaza. En la tarde del 15 de enero de 1919, un día inusitadamente cálido en Boston, se rompió un tan- que metálico cilíndrico de 27.4 m de altura y 27.4 m de diámetro usa- do para almacenar melaza. La melaza fluyó por las calles en una corriente de 9 m de profundidad, matando peatones y caballos y ti- rando edificios. La melaza tenía una densidad de 1600 kg>m3. Si el tanque estaba lleno antes del accidente, ¿qué fuerza total ejercía la melaza contra los costados? (Sugerencia: considere la fuerza hacia fuera que actúa sobre un anillo de la pared del tanque de anchura dy y una profundidad y bajo la superficie. Integre para calcular la fuerza total hacia fuera. Suponga que, antes de que el tanque se rompiera, la presión en la superficie de la melaza era igual a la presión del aire afuera del tanque.)

14.59. Un lanchón abierto tiene las dimensiones que se muestran en la figura 14.38. Si el lanchón está hecho con placa de acero de 4.0 cm de espesor en sus cuatro costados y el fondo, ¿qué masa de carbón puede transportar el lanchón en agua dulce sin hundirse? ¿Hay suficiente es- pacio en el lanchón para contener ese carbón? (La densidad aproxima- da del carbón es de 1500 kg>m3.)

14.60. Un globo de aire caliente tiene un volumen de 2200 m3. La tela del globo pesa 900 N. La canasta con su equipo y tanques de propano llenos pesa 1700 N. Si el globo apenas puede levantar otros 3200 N de pasajeros, desayuno y champán cuando la densidad del aire exte- rior es de 1.23 kg>m3, ¿qué densidad media tienen los gases calientes del interior?

14.61. Los anuncios de cierto auto aseguran que flota en agua. a) Si la masa del auto es de 900 kg y su volumen interior es de 3.0 m3, ¿qué fracción queda sumergida al flotar? Puede despreciarse el volumen del acero y demás materiales. b) Poco a poco se filtra agua y desplaza el aire en el auto. ¿Qué fracción del volumen interior está llena de agua cuando el auto se hunde?

14.62. Un cubo de hielo de 9.70 g flota en un vaso totalmente lleno con 420 cm3 de agua. Ignore la tensión superficial del agua y su varia- ción de densidad con la temperatura (mientras siga líquida). a) ¿Qué volumen de agua desplaza el cubo de hielo? b) Una vez derretido el hielo, ¿se habrá desbordado algo de agua? Si así fue, ¿cuánta? Si no, explique por qué. c) Suponga que el agua del vaso era muy salada, con densidad de 1050 kg>m3. ¿Qué volumen de agua salada desplazaría el cubo de hielo de 9.70 g? d) Repita el inciso b) para el cubo de agua dulce en agua salada.

14.63. Un trozo de madera de 0.600 m de longitud, 0.250 m de ancho y 0.080 m de espesor tiene una densidad de 600 kg>m3. ¿Qué volumen de plomo debe sujetarse a su base para hundir la madera en agua tran- quila de manera que su cara superior esté al ras del agua? ¿Qué masa tiene ese volumen de plomo?

14.64. Un hidrómetro consiste en un bulbo esférico y un tallo cilíndri- co con área transversal de 0.400 cm2 (véase la figura 14.13a). El volu- men total es de 13.2 cm3. Sumergido en agua, el hidrómetro flota con 8.00 cm del tallo sobre la superficie. Sumergido en un líquido orgáni- co, 3.20 cm del tallo sobresale de la superficie. Calcule la densidad del líquido orgánico. (Nota: esto ilustra la precisión de semejante hidró- metro. Variaciones de densidad relativamente pequeñas producen va- riaciones relativamente grandes en la lectura.)

14.65. Las densidades del aire, el helio y el hidrógeno (a p 5 1.0 atm y T 5 20°C) son 1.20 kg>m3, 0.166 kg>m3 y 0.0899 kg>m3, respectiva- mente. a) ¿Qué volumen en metros cúbicos desplaza un dirigible lleno de hidrógeno que tiene una “sustentación” total de 120 kN? (La “sus- tentación” es la cantidad en que la fuerza de flotación excede el peso del gas que llena el dirigible.) b) Calcule la “sustentación” si se usara helio en vez de hidrógeno. A la luz de su respuesta, ¿por qué se usa he- lio en los modernos dirigibles publicitarios?

14.66. MAS de un objeto flotante. Un objeto de altura h, masa M y área de sección transversal uniforme A flota erguido en un líquido con densidad r. a) Calcule la distancia vertical de la superficie del líquido a la base del objeto flotante en equilibrio. b) Se aplica una fuerza hacia abajo de magnitud F a la cara superior del objeto. En la nueva posición de equilibrio, ¿qué tanto más abajo de la superficie del líquido está la base del objeto en comparación con el inciso a)? (Suponga que parte del objeto permanece sobre la superficie del líquido.) c) Su resultado del inciso b) indica que si la fuerza se retira de repente, el objeto osci- lará verticalmente en movimiento armónico simple. Calcule el perio- do de este movimiento en términos de la densidad r del líquido y la masa M y área transversal A del objeto. Ignore el amortiguamiento debido a la fricción del fluido (véase la sección 13.7).

14.67. Una boya cilíndrica de 950 kg y 0.900 m de diámetro flota verti- calmente en agua salada. a) Calcule la distancia adicional que la boya se hundirá si un hombre de 70.0 kg se pone de pie sobre ella. (Utilice la expresión deducida en el inciso b) del problema 14.66.) b) Calcule el periodo del MAS vertical que se produce cuando el hombre se lanza al agua. (Utilice la expresión deducida en el inciso c) del problema 14.66; igual que en ese problema, desprecie el amortiguamiento por fricción del fluido.)

14.68. Una manguera de bomberos debe ser capaz de lanzar agua ha- cia la parte superior de un edificio de 35.0 m de altura cuando se apun- ta recta hacia arriba. El agua entra a esta manguera a una tasa constante de 0.500 m3>s y sale por una boquilla redonda. a) ¿Cuál es el diámetro máximo que esta boquilla puede tener? b) Si la única boquilla disponi- ble tiene un diámetro que es el doble de grande, ¿cuál es el punto más alto que puede alcanzar el agua?

14.69. Se taladra un pequeño agujero en el lado de un tanque cilíndrico vertical de agua que está sobre el piso con su extremo superior abierto al aire. a) Si el nivel del agua tiene una altura H, ¿a qué altura por enci- ma de la base debe taladrarse el agujero para que el agua alcance su distancia máxima con respecto a la base del cilindro cuando toque el piso? b) ¿Cuál es la distancia máxima que el agua puede alcanzar?

14.70. Un tanque cilíndrico vertical de área transversal A1 está abierto al aire en su extremo superior y contiene agua hasta una altura h0. Ac- cidentalmente, un trabajador perfora un agujero de área A2 en la base del tanque. a) Deduzca una ecuación para la altura h del agua como función del tiempo t después de que se perforó el agujero. b) ¿Cuánto tiempo tarda el tanque en vaciarse por completo a partir de que se per- fora el agujero?

14.71. Un bloque de madera balsa colocado en una charola de una balanza de brazos iguales se equilibra exactamente con una masa de latón de 0.0950 kg en la otra charola. Calcule la masa verdadera de la madera si su densidad es de 150 kg>m3. Explique por qué podemos despreciar la flotación en aire del latón pero no de la madera balsa sin perder exactitud.

14.72. El bloque A de la figura 14.39 cuelga mediante un cordón de la ba- lanza de resorte D y se sumerge en el líquido C contenido en el vaso de precipitados B. La masa del vaso es 1.00 kg; la del líquido es 1.80 kg. La balanza D marca 3.50 kg, y la E, 7.50 kg. El volumen del bloque A es de 3.80 3 1023 m3. a) ¿Qué densidad tiene el líquido? b) ¿Qué marcará ca- da balanza si el bloque A se saca del líquido?

14.73. Un trozo de aluminio total- mente cubierto con una capa de oro forma un lingote que pesa 45.0 N. Si el lingote se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la lectura es de 39.0 N. ¿Qué peso de oro hay en el lingote?

14.74. Una pelota de plástico tiene 12.0 cm de radio y flota en agua con el 16.0% de su volumen sumergido. a) ¿Qué fuerza deberemos aplicar a la pelota para sostenerla en reposo totalmente bajo la superfi- cie del agua? b) Si se suelta la pelota, ¿qué aceleración tendrá en el ins- tante en que se libera?

14.75. El peso de la corona sólida de un rey es w. Si se suspende de una cuerda ligera y se sumerge por completo en agua, la tensión en la cuerda (peso aparente de la corona) es fw. a) Demuestre que la densi-

dad relativa (gravedad específica) de la corona es 1>(1 2 f). Analice el significado de los límites al acercarse f a 0 y a 1. b) Si la corona es de oro sólido y pesa 12.9 N en el aire, ¿qué peso aparente tiene cuando está completamente sumergida en agua? c) Repita el inciso b) consi- derando que la corona es de plomo chapeada en oro, pero aún pesa 12.9 N en el aire.

14.76. Un trozo de acero pesa w, su peso aparente (véase el problema 14.75) sumergido por completo en agua es wagua, y sumergido en un fluido desconocido, wfluido. a) Demuestre que la densidad del fluido re- lativa al agua (gravedad específica) es (w 2 wfluido)>(w 2 wagua). b) ¿Es razonable este resultado para los tres casos de wfluido, mayor, igual o menor que wagua? c) El peso aparente de un trozo de acero en agua (densidad 5 1000 kg>m3) equivale al 87.2% de su peso. ¿Qué porcen- taje de su peso será su peso aparente en ácido fórmico (densidad 5 1220 kg>m3)?

14.77. Imagine que cuela un metal de densidad rm en un molde, pero le preocupa que pueda haber cavidades en el colado. El peso del co- lado es w y la fuerza de flotación cuando está rodeado por completo de agua es B. a) Demuestre que el volumen total de las cavidades in- ternas es V0 5 B>(raguag) 2 w>(rmg). b) Si el metal es cobre, el peso del colado es de 156 N y la fuerza de flotación es de 20 N, ¿qué volu- men total de cavidades contiene el colado? ¿A qué fracción corres- ponde esto del volumen total del colado?

14.78. Un bloque cúbico de madera de 0.100 m por lado y con densi- dad de 550 kg>m3 flota en un frasco de agua. Aceite con densidad de 750 kg>m3 se vierte sobre el agua hasta que la superficie del aceite está 0.035 m por debajo de la cara superior del bloque. a) ¿Qué espesor tie- ne la capa de aceite? b) ¿Qué presión manométrica hay en la cara infe- rior del bloque?

14.79. Bajen anclas. Una ancla de hierro de 35.0 kg y densidad de 7860 kg>m3 está en la cubierta de una barcaza pequeña con lados verti- cales que flota en un río de agua dulce. El área del fondo de la barcaza es de 8.00 m2. El ancla se tira por la borda, pero queda suspendida arri- ba del fondo del río por una cuerda, cuya masa y volumen son tan pe- queños que los podemos despreciar. Al tirarse el ancla y una vez que la barcaza ha dejado de oscilar, ¿la barcaza está más arriba o más abajo en el agua que antes? ¿Qué distancia sube o baja?

14.80. Suponga que el petróleo crudo de un buque-tanque tiene densi- dad de 750 kg>m3. El buque encalla en una barra de arena. Para de- sencallarlo, el petróleo se bombea a barriles de acero que, cuando están vacíos, tienen una masa de 15.0 kg y capacidad para 0.120 m3 de petróleo. Puede despreciarse el volumen ocupado por el acero del barril. a) Si un rescatista accidentalmente deja caer al mar un barril lleno y sellado, ¿flotará o se hundirá? b) Si el barril flota, ¿qué frac- ción de su volumen estará por arriba de la superficie? Si se hunde, ¿qué tensión mínima habría que ejercer con una cuerda para subir el barril del fondo del océano? c) Repita los incisos a) y b) si la densidad del petróleo es de 910 kg>m3 y los barriles vacíos tienen una masa de 32.0 kg.

14.81. Un bloque cúbico con densidad rB y lados de longitud L flota en un líquido con densidad mayor rL. a) ¿Qué fracción del volumen del bloque está sobre la superficie del líquido? b) El líquido es más denso que el agua (densidad rA) y no se mezcla con ella. Si se vierte agua en la superficie del líquido, ¿qué espesor (en términos de L, rB, rL y rA) debe tener la capa de agua para que su superficie esté al ras de la cara superior del bloque? c) Calcule la profundidad de la capa de agua en el inciso b) si el líquido es mercurio, el bloque está hecho de hierro y la longitud de su lado es de 10.0 cm.

14.82. Una barcaza está en una esclusa rectangular en un río de agua dulce. La esclusa mide 60.0 m. de longitud y 20.0 m de ancho, y las puertas de acero en sus extremos están cerradas. Con la barcaza flotan- do en la esclusa, una carga de 2.50 3 106 N de chatarra se coloca en la barcaza. El metal tiene una densidad de 9000 kg>m3. a) Cuando la car- ga, que inicialmente estaba en tierra, se coloca en la barcaza, ¿qué dis- tancia vertical sube el agua en la esclusa? b) Ahora la chatarra se tira de la barcaza al agua. ¿El nivel del agua en la esclusa sube, baja o per- manece igual? Si sube o baja, ¿cuánto lo hace?

14.83. Un tubo en forma de U con una porción horizontal de longi- tud l (figura 14.40) contiene un lí- quido. ¿Qué diferencia de altura hay entre las columnas de líquido en los brazos verticales a) si el tu- bo tiene una aceleración a hacia la derecha? b) ¿Y si el tubo se monta en una tornamesa horizontal que gira con rapidez angular v, con uno de sus brazos verticales en el eje de rotación? c) Explique por qué la diferencia de altura no depende de la densidad del líquido ni del área de sección transversal del tubo. ¿Se- ría lo mismo si los brazos verticales no tuvieran la misma área de sección transversal? ¿Sería lo mismo si la porción horizontal estuviera ahusada de un extremo al otro? Explique.

14.84. Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible (de densidad r) gira con rapidez angular constante v alrededor de su eje de simetría, que tomamos como eje y (figura 14.41). a) Demuestre que la presión a una al- tura dada dentro del fluido aumenta en la dirección radial (hacia fuera desde el eje de rotación) de acuerdo con la ecuación 'p>'r 5 rv 2r. b) Integre esta ecuación diferencial parcial para determinar la presión como función de la distancia del eje de rotación a lo largo de una línea horizontal en y 5 0. c) Combine el resultado del in- ciso b) con la ecuación (14.5) para demostrar que la superficie del líquido en rotación tiene forma parabólica, es decir, la altura del líqui- do está dada por h(r) 5v 2r2>2g. (Esta técnica se usa para hacer espe- jos de telescopio parabólicos; se hace girar vidrio líquido, dejando que se solidifique mientras gira.)

14.85. Un fluido incompresible con densidad r está en un tubo de ensayo horizontal con área transversal interior A. El tubo gira en un círculo horizontal en una ultracentrífuga con rapidez angular v. Las fuerzas gravitacionales son insignificantes. Considere un elemento de volumen del fluido con área A y espesor dr9, a una distancia r9 del eje de rotación. La presión en su superficie interior es p, y en la exterior, p 1 dp. a) Aplique la segunda ley de Newton al elemento de volumen para demostrar que b) Si la superficie del fluido está en un radio r0 donde la presión es p0, demuestre que la presión p a una distancia r $ r0 es p 5 p0 1 rv 2(r2 2 r02)>2. c) Un objeto con volu- men V y densidad rob tiene su centro de masa a una distancia Rcmob del eje. Demuestre que la fuerza horizontal neta que actúa sobre el objeto es rVv2Rcm, donde Rcm es la distancia del eje al centro de masa del flui- do desplazado. d) Explique por qué el objeto se mueve hacia dentro si rRcm .robRcmob y hacia fuera si rRcm ,robRcmob. e) Para objetos pe- queños con densidad uniforme, Rcm 5 Rcmob. ¿Qué sucede con una mezcla de objetos de este tipo con diferentes densidades en una ultra- centrífuga?

14.86. Globos sueltos llenos de helio, flotando en un auto con las ven- tanas y las ventilas cerradas, se mueven en el sentido de la aceleración del auto, pero globos sueltos llenos de aire se mueven en el sentido dp 5 rv 2rrdrr.

opuesto. Para comprender por qué, considere sólo las fuerzas horizon- tales que actúan sobre los globos. Sea a la magnitud de la aceleración hacia delante del auto. Considere un tubo horizontal de aire con área transversal A que se extiende del parabrisas, donde x 5 0 y p 5 p0, ha- cia atrás sobre el eje x. Considere un elemento de volumen de espesor dx en este tubo. La presión en su superficie delantera es p, y en la tra- sera es p 1 dp. Suponga que el aire tiene una densidad constante r. a) Aplique la segunda ley de Newton a este elemento para demostrar que dp 5ra dx . b) Integre el resultado del inciso a) para obtener la presión en la superficie delantera en términos de a y x. c) Para demos- trar que considerar r como constante es razonable, calcule la diferen- cia de presión en atmósferas para una distancia de hasta 2.5 m y una aceleración grande de 5.0 m>s2. d) Demuestre que la fuerza horizontal neta que actúa sobre un globo de volumen V es rVa. e) Si las fuerzas de fricción son insignificantes, demuestre que la aceleración del globo (densidad media rglo) es (r>rglo)a y que su aceleración relativa al auto es arel 5 [(r>rglo) 2 1]a. f) Use la expresión para arel del inciso e) para explicar el movimiento de los globos.

14.87. Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto grande con paredes verticales (figura 14.42). Se perfora un agujero en una pared a una profundidad h bajo la superficie del agua. a) ¿Aqué distancia R del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale? b) ¿A qué distancia sobre la base del tanque debería hacerse un segundo agujero de mane- ra que el chorro que salga por él tenga el mismo alcance que el que sa- le por el primero?

14.88. Una cubeta cilíndrica, abierta por arriba, tiene 25.0 cm de altura y 10.0 cm de diámetro. Se perfora un agujero circular con área de 1.50 cm2 en el centro del fondo de la cubeta. Se vierte agua en la cubeta me- diante un tubo situado arriba, a razón de 2.40 3 1024 m3>s. ¿A qué al- tura subirá el agua en la cubeta?

14.89. Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la fi- gura 14.43. La altura del punto 1 es de 10.0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00 m. El área transversal en el punto 2 es de 0.0480 m2; en el punto 3 es de 0.0160 m2. El área del tanque es muy grande en compa- ración con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicar- se la ecuación de Bernoulli, calcule a) la rapidez de descarga en m3>s; b) la presión manométrica en el punto 2.

14.90. El radio del huracán Emily de 1993 fue de unos 350 km. La ra- pidez del viento cerca del centro (“ojo”) del huracán, cuyo radio fue de unos 30 km, alcanzó cerca de 200 km>h. Al entrar maire del borde del huracán hacia el ojo, su cantidad de movimiento angular se mantuvo casi constante. a) Estime la rapidez del viento en el borde del huracán. b) Estime la diferencia de presión en el suelo entre el ojo y el borde del huracán. (Sugerencia: véase la tabla 14.1.) ¿Dónde es mayor la pre- sión? c) Si la energía cinética del aire arremolinado en el ojo pudiera convertirse totalmente en energía potencial gravitacional, ¿cuánto su- biría el aire? d) De hecho, el aire en el ojo sube a alturas de varios kiló- metros. ¿Cómo puede conciliar esto con su respuesta del inciso c)?

14.91. Dos tanques abiertos muy grandes A y F (figura 14.44) contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD, con una constricción en C y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Un tubo vertical E emboca en la constricción en C y baja al líquido del tanque F. Suponga flujo de línea de corriente y cero viscosidad. Si el área transversal en C es la mitad del área en D, y si D está a una distancia h1 bajo el nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el tubo E? Exprese su respuesta en términos de h1.

14.92. El tubo horizontal de la figura 14.45 tiene área transversal de 40.0 cm2 en la parte más ancha y de 10.0 cm2 en la constricción. Flu- ye agua en el tubo, cuya descarga es de 6.00 3 1023 m3>s (6.00 L>s). Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y angosta; b) la diferencia de presión entre estas porciones; c) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U.

14.93. Un líquido que fluye de un tubo vertical produce un chorro con una forma bien definida. Para obtener la ecuación de esta forma, su- ponga que el líquido está en caída libre una vez que sale del tubo. Al salir, el líquido tiene rapidez v0, y el radio del chorro es r0. a) Obtenga una ecuación para la rapidez del líquido en función de la distancia y que ha caído. Combinando esto con la ecuación de continuidad, ob- tenga una expresión para el radio del chorro en función de y. b) Si flu- ye agua de un tubo vertical con rapidez de salida de 1.20 m>s, ¿a qué distancia bajo la salida se habrá reducido a la mitad el radio original del chorro?

Problemas de desafío

14.94. Una roca con masa m 5 3.00 kg cuelga del techo de un eleva- dor con un cordón ligero. La roca está totalmente sumergida en una cu- beta con agua que está en el piso del elevador, pero no toca el fondo ni los lados de la cubeta, a) Cuando el elevador está en reposo, la tensión en el cordón es de 21.0 N. Calcule el volumen de la piedra. b) Deduz- ca una expresión para la tensión en el cordón cuando el elevador tiene una aceleración de magnitud a hacia arriba. Calcule la tensión cuando a 5 2.50 m>s2 hacia arriba. c) Deduzca una expresión para la tensión en el cordón cuando el elevador tiene una aceleración de magnitud a hacia abajo. Calcule la tensión cuando a 5 2.50 m>s2 hacia abajo. d) Determine la tensión cuando el elevador está en caída libre con aceleración hacia abajo igual a g.

14.95. Suponga que un trozo de espuma de poliestireno, r5180 kg>m3, se mantiene totalmente sumergido en agua (figura 14.46). a) Calcule la tensión en la cuerda usando el principio de Arquímedes. b) Use p 5 p0 1rgh para calcular directamente la fuerza que ejerce el agua sobre los dos lados inclinados y la base del trozo de poliestire- no; luego demuestre que la suma vectorial de estas fuerzas es la fuerza de flotación.

14.96. Un tanque grande con diámetro D, abierto al aire, contiene agua hasta una altura H. Se perfora un agujero pequeño con diámetro d(d V D) en la base del tanque. Ignorando los efectos de viscosidad, calcule el tiempo que el tanque tarda en vaciarse por completo.

14.97. Un sifón (figura 14.47) es un dispositivo útil para extraer líqui- dos de recipientes. Para establecer el flujo, el tubo debe llenarse ini- cialmente con fluido. Sea r la densidad del fluido y pa la presión atmosférica. Suponga que el área transversal del tubo es la misma en toda su longitud. a) Si el extremo inferior del sifón está a una distan- cia h bajo el nivel del líquido en el recipiente, ¿con qué rapidez fluye el líquido por ese extremo? (Suponga que el recipiente tiene un diáme- tro muy grande e ignore los efectos de viscosidad.) b) Una caracterís-tica curiosa del sifón es que el fluido inicialmente fluye hacia arriba. ¿Qué altura máxima H puede tener el punto alto del tubo sin que deje de haber flujo?

14.98. El siguiente párrafo se tomó de una carta. Al trazar y nivelar los cimientos de construcciones relativamente largas, los carpinteros de la localidad acostumbran usar una manguera de jardín llena de agua, en cuyos extremos meten tubos de vidrio de 10 a 12 pulgadas de longi- tud. La teoría es que el agua, buscando un nivel común, tendrá la mis- ma altura en ambos tubos y servirá como nivel. Surge la pregunta de qué pasa si se deja una burbuja de aire en la manguera. Nuestros ex- pertos aseguran que el aire no afecta la lectura de un extremo al otro. Otros dicen que sí habrá una inexactitud importante. ¿Puede usted dar una respuesta relativamente sencilla a esta pregunta, junto con una ex- plicación? La figura 14.48 bosqueja la situación que causó la disputa.

Capitulo 15 ondas

Ejercicis Sección 15.2

Ondas periódicas

15.1. La rapidez del sonido en aire a 20 °C es de 344 m>s. a) Calcule la longitud de onda de una onda sonora con frecuencia de 784 Hz, que corresponde a la nota sol de la quinta octava de un piano, y cuántos milisegundos dura cada vibración. b) Calcule la longitud de onda de una onda sonora una octava más alta que la nota del inciso a)

. 15.2. Sonido audible. Siempre que la amplitud sea lo suficiente- mente grande, el oído humano puede responder a ondas longitudina- les dentro de un intervalo de frecuencias que aproximadamente va de los 20.0 Hz a los 20.0 kHz. a) Si usted tuviera que marcar el comien- zo de cada patrón de onda completo con un punto rojo para el sonido de longitud de onda larga y con un punto azul el sonido de longi- tud de onda corta, ¿qué distancia habría entre los puntos rojos y qué distancia habría entre los puntos azules? b) En realidad, ¿los puntos adyacentes en cada conjunto estarían suficientemente alejados para que usted pudiera medir fácilmente su distancia de separación con una cinta métrica? c) Suponga que repite el inciso a) en agua, donde el sonido viaja a 1480 m>s. ¿Qué tan alejados estarían los puntos en cada conjunto? ¿Podría medir fácilmente su separación con una cinta métrica?

15.3. ¡Tsunami! El 26 de diciembre de 2004 ocurrió un intenso te- rremoto en las costas de Sumatra, y desencadenó olas inmensas (un tsunami) que provocaron la muerte de 200,000 personas. Gracias a los satélites que observaron esas olas desde el espacio, se pudo establecer que había 800 km de la cresta de una ola a la siguiente, y que el perio- do entre una y otra fue de 1.0 hora. ¿Cuál fue la rapidez de esas olas en m>s y en km>h? ¿Su respuesta le ayudaría a comprender por qué las olas causaron tal devastación?

15.4. Imágenes por ultrasonido. Se llama ultrasonido a las frecuen- cias más arriba de la gama que puede detectar el oído humano, esto es, aproximadamente mayores que 20,000 Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir imágenes al reflejarse en las superficies. En una exploración típica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m>s. Para obtener una imagen detalla- da, la longitud de onda no debería ser mayor que 1.0 mm. ¿Qué fre- cuencia se requiere entonces?

15.5. Luz visible. La luz es una onda, pero no una onda mecánica. Las cantidades que oscilan son campos eléctricos y magnéticos. La luz que es visible para los seres humanos tiene longitudes de onda de entre 400 nm (violeta) y 700 nm (rojo), en tanto que toda la luz viaja en el vacío a una rapidez c 5 3.00 3 108 m>s. a) ¿Cuáles son los límites de la frecuencia y el periodo de la luz visible? b) ¿Usando un cronómetro podría usted medir el tiempo que dura una sola vibra- ción de luz?

Sección 15.3 Descripción matemática de una onda

15.6. La ecuación de cierta onda transversal es

Determine la a) amplitud, b) longitud de onda, c) frecuencia, d) rapi- dez de propagación y e) dirección de propagación de la onda.

15.7. Ciertas ondas transversales en una cuerda tienen rapidez de 8.00 m>s, amplitud de 0.0700 m y longitud de onda de 0.320 m. Las ondas viajan en la dirección 2x, y en t 5 0 el extremo x 5 0 de la cuerda tie- ne su máximo desplazamiento hacia arriba. a) Calcule la frecuencia, el periodo y el número de onda de estas ondas. b) Escriba una función de onda que describa la onda. c) Calcule el desplazamiento transversal de una partícula en x 5 0.360 m en el tiempo t 5 0.150 s. d) ¿Cuánto tiempo debe pasar después de t 5 0.150 s para que la partícula en x 5 0.360 m vuelva a tener su desplazamiento máximo hacia arriba?

15.8. Una onda de agua que viaja en línea recta en un lago queda des- crita por la ecuación donde y es el desplazamiento perpendicular a la superficie tranquila del lago. a) ¿Cuánto tiempo tarda un patrón de onda completo en pasar por un pescador en un bote anclado, y qué distancia horizontal viaja la cresta de la onda en ese tiempo? b) ¿Cuál es el número de onda y el número de ondas por segundo que pasan por el pescador? c) ¿Qué tan rápido pasa una cresta de onda por el pescador y cuál es la rapidez máxima de su flotador de corcho cuando la onda provoca que éste os- cile verticalmente?

15.9. ¿Cuál de las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda, ecuación (15.12)? a) b) c) d) Para la onda del inciso b), escriba las ecuaciones para la velocidad y la aceleración transversales de una partícula en el punto x. 15.10. a) Para una onda en una cuerda descrita por y(x, t) 5 A cos (kx 2v t), a) grafique y, vy y ay en función de x para t 5 0. b) Consi- dere los siguientes puntos de la cuerda: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) Para una partícula en cada uno de estos puntos en t 5 0, indique con palabras si la partícula se está moviendo y en qué dirección, y si se está acelerando, frenando o tiene aceleración instantánea cero.

15.11. Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda en función del tiempo se gra- fica en la figura 15.30 para partículas en x 5 0 y en x 5 0.0900 m. a) Calcule la amplitud de la onda. b) Calcule el periodo de la onda. c) Se sabe que los puntos en x 5 0 y x 5 0.0900 m están separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección 1x, deter- mine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) Si ahora la onda se mueve en la dirección 2x, determine la longitud de onda y la rapi- dez de la onda. e) ¿Sería posible determinar de manera definitiva la longitud de onda en los incisos c) y d) si no supiéramos que los dos puntos están separados una longitud de onda? ¿Por qué?

15.12. Rapidez de propagación contra rapidez de partículas. a) De- muestre que la ecuación (15.3) puede escribirse como

b) Use y(x, t) para obtener una expresión para la velocidad transver- sal vy de una partícula de la cuerda en la que viaja la onda. c) Calcule la rapidez máxima de una partícula de la cuerda. ¿En qué circunstan- cias es igual a la rapidez de propagación v? ¿Menor que v? ¿Y mayor que v?

15.13. Una onda transversal que viaja en una cuerda tiene amplitud de 0.300 cm, longitud de onda de 12.0 cm y rapidez de 6.00 cm>s y se re- presenta con y(x, t) del ejercicio 15.12. a) En el tiempo t 5 0, calcule y a intervalos de x de 1.5 cm (es decir, en x 5 0, x 5 1.5 cm, x 5 3.0 cm, etcétera) de x 5 0 a x 5 12.0 cm. Muestre los resultados en una grá- fica. Ésta es la forma de la cuerda en el tiempo t 5 0. b) Repita los cálculos para los mismos valores de x en t 5 0.400 s y t 5 0.800 s. Muestre gráficamente la forma de la cuerda en esos instantes. ¿En qué dirección viaja la onda?

Sección 15.4 Rapidez de una onda transversal

15.14. ¿Con qué tensión debe estirarse una cuerda de 2.50 m de longi- tud y masa de 0.120 kg para que ondas transversales con frecuencia de 40.0 Hz tengan una longitud de onda de 0.750 m? 15.15. Un extremo de una cuerda horizontal se conecta a una punta de un diapasón eléctrico que vibra a 120 Hz. El otro extremo pasa por una polea y sostiene una masa de 1.50 kg. La densidad lineal de masa de la cuerda es de 0.0550 kg>m. a) ¿Qué rapidez tiene una onda transversal en la cuerda? b) ¿Qué longitud de onda tiene? c) ¿Cómo cambian las respuestas a los incisos a) y b), si la masa se aumenta a 3.00 kg?

15.16. Una cuerda de 1.50 m y que pesa 1.25 N está atada al techo por su extremo superior, mientras que el extremo inferior sostiene un peso W. Cuando usted da un leve pulso a la cuerda, las ondas que viajan hacia arriba de ésta obedecen la ecuación

a) ¿Cuánto tiempo tarda un pulso en viajar a todo lo largo de la cuer- da? b) ¿Cuál es el peso W? c) ¿Cuántas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante? d) ¿Cuál es la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda?

15.17. Un alambre delgado de 75.0 cm tiene una masa de 16.5 g. Un extremo está amarrado a un clavo y el otro extremo está amarrado a un tornillo que puede ajustarse para variar la tensión en el alambre. a) ¿A qué tensión (en newtons) debe ajustarse el tornillo para que la onda transversal cuya longitud de onda es de 3.33 cm registre 875 vibraciones por segundo? b) ¿Con qué rapidez viajaría esta onda?

15.18. Cuerda pesada. Si en el ejemplo 15.3 (sección 15.4) no des- preciamos el peso de la cuerda, ¿qué rapidez tiene la onda a) en la base de la cuerda? b) ¿En la parte media? c) ¿En la parte superior?

15.19. Un oscilador armónico simple en el punto x 5 0 genera una on- da en una cuerda. El oscilador opera con una frecuencia de 40.0 Hz y una amplitud de 3.00 cm. La cuerda tiene una densidad lineal de masa de 50.0 g>m y se le estira con una tensión de 5.00 N. a) Determine la rapidez de la onda. b) Calcule la longitud de onda. c) Describa la fun- ción y(x, t) de la onda. Suponga que el oscilador tiene su desplaza- miento máximo hacia arriba en el instante t 5 0. d) Calcule la aceleración transversal máxima de las partículas de la cuerda. e) Al tra- tar las ondas transversales en este capítulo, despreciamos la fuerza de la gravedad. ¿Esa aproximación es razonable en el caso de esta onda? Explique su respuesta.

Sección 15.5 Energía del movimiento ondulatorio

15.20. Un alambre de piano con masa de 3.00 g y longitud de 80.0 cm se estira con una tensión de 25.0 N. Una onda con frecuencia de 120.0 Hz y amplitud de 1.6 mm viaja por el alambre. a) Calcule la potencia media que transporta esta onda. b) ¿Qué sucede con la potencia media si la amplitud de la onda se reduce a la mitad?

15.21. Cuando despega un avión a propulsión, produce un sonido con intensidad de 10.0 W>m2 a 30.0 m de distancia. Usted prefiere el tran- quilo sonido de la conversación normal, que es de 1.0 mW>m2. Su- ponga que el avión se comporta como una fuente puntual de sonido. a) ¿Cuál es la distancia mínima a la pista de aterrizaje a la que usted podría vivir para conservar su estado de paz mental? b) ¿Qué intensi- dad del sonido de los aviones experimenta un amigo suyo, quien vive a una distancia de la pista de aterrizaje que es el doble de la distancia y1x, t2 5 18.50 mm2cos1172 m21 x 2 2730 s21 t2 a la que usted vive? c) ¿Qué potencia de sonido produce el avión en el despegue?

15.22. Umbral del dolor. Imagine que investiga un informe del ate- rrizaje de un OVNI en una región despoblada de Nuevo México, y en- cuentra un objeto extraño que radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. Suponga que el sonido proviene de una fuente pun- tual y que puede despreciar las reflexiones. Está caminando lentamen- te hacia la fuente. Cuando está a 7.5 m de ella, determina que la intensidad es de 0.11 W>m2. Comúnmente, se considera que una inten- sidad de 1.0 W>m2 es el “umbral del dolor”. ¿Cuánto más podrá acer- carse a la fuente antes de que la intensidad del sonido alcance ese umbral?

15.23. Desarrollo de energía. Imagine que efectúa mediciones y de- termina que se están propagando ondas sonoras igualmente en todas direcciones desde una fuente puntual y que la intensidad es de 0.026 W>m2 a una distancia de 4.3 m de la fuente. a) Calcule la intensidad a una distancia de 3.1 m de la fuente. b) ¿Cuánta energía sonora emite la fuente en una hora si su emisión se mantiene constante?

15.24. Imagine que un compañero con dotes matemáticas le dice que la función de onda de una onda viajera en una cuerda delgada es y(x, t) 5 2.30 mm cos[(6.98 rad>m)x 1 (742 rad>s)t]. Usted, que es una per- sona más práctica, efectúa mediciones y determina que la cuerda tiene una longitud de 1.35 m y una masa de 0.00338 kg. Ahora le piden de- terminar lo siguiente: a) amplitud; b) frecuencia; c) longitud de onda; d) rapidez de la onda; e) dirección en que viaja la onda; f) tensión en la cuerda; g) potencia media transmitida por la onda.

15.25. ¿Cuánta potencia total desarrolla la sirena del ejemplo 15.5?

Sección 15.6 Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición

15.26. Reflexión. Un pulso de onda en una cuerda tiene las dimen- siones que se muestran en la figura 15.31 en t 5 0. La rapidez de la on- da es de 40 cm>s. a) Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total en t 5 15 ms, 20 ms, 25 ms, 30 ms, 35 ms, 40 ms y 45 ms. b) Re- pita el inciso a) para el caso en que O es un extremo libre.

15.27. Reflexión. Un pulso ondulatorio en una cuerda tiene las di- mensiones que se muestran en la figura 15.32 en t 5 0. La rapidez de la onda es de 5.0 m>s. a) Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total a t 5 1.0 ms, 2.0 ms, 3.0 ms, 4.0 ms, 5.0 ms, 6.0 ms y 7.0 ms. b) Repita el inciso a) para el caso en que el punto O es un extremo libre.

15.29. Suponga que el pulso que viaja hacia la izquierda en el ejerci- cio

15.28 está debajo del nivel de la cuerda sin estirar y no por encima. Trace los mismos dibujos que realizó para ese ejercicio.

15.30. Dos pulsos se desplazan en sentidos opuestos a 1.0 cm>s en una cuerda tensada, como se ilustra en la figura 15.34. Cada cuadro representa 1.0 cm. Dibuje la forma de la cuerda al final de a) 6.0 s, b) 7.0 s, c) 8.0 s.

15.31. Interferencia de pulsos rectangulares. La figura 15.35 muestra dos pulsos ondulatorios rectangulares en una cuerda estirada, que viajan uno hacia el otro. Su rapidez es de 1.00 mm>s y su peso y su anchura se muestran en la figura. Los bordes delanteros de los pulsos están separadas 8.00 mm en t 5 0. Dibuje la forma de la cuerda en y t 5 10.0 s.

15.32. Dos ondas viajeras que se mueven por una cuerda son idénticas, excepto que sus velocidades son opuestas. Obedecen la ecuación donde el signo más-menos del argumen- to depende de la dirección en que viaje la onda. a) Demuestre que la cuerda que vibra está descrita por la ecuación (Sugerencia: utilice las fórmulas trigonométricas para b) Demuestre que la cuerda nunca se mueve en los luga- res en que donde n es un entero no negativo.

Sección 15.7 Ondas estacionarias en una cuerda

15.33. Ciertas ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuación (15.28), si ASW 5 2.50 mm, v5942 rad>s, y k 5 0.750p rad>m. El extremo izquierdo del alambre está en x 5 0. ¿A qué dis- tancias de ese extremo están a) los nodos y b) los antinodos de la onda estacionaria?

15.34. Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuer- da están separados 15.0 cm. Una partícula en un antinodo oscila en movimiento armónico simple con amplitud de 0.850 cm y periodo de 0.0750 s. La cuerda está en el eje 1x, fija en x 5 0. a) ¿Qué tan separa- dos están los nodos adyacentes? b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la amplitud, la rapidez de las dos ondas viajeras que forman este patrón? c) Calcule las rapideces transversales máxima y mínima de un punto en un antinodo. d) ¿Cuál es la distancia mínima en la cuerda entre un nodo a un antinodo?

15.35. Ecuación de onda y ondas estacionarias. a) Por sustitución directa demuestre que es una solución de la ecuación de onda [ecuación (15.12)] para v 5v >k. b) Explique por qué la relación v 5v >k para ondas viajeras también es válida para on- das estacionarias

. 15.36. Dé los detalles de la deducción de la ecuación (15.28) a partir de

15.37. Sean y A cos (k2x 2 dos soluciones de la ecuación de onda (ecuación 15.12) para la misma v. Demuestre que también es una solución de la ecuación de onda.

Sección 15.8 Modos normales de una cuerda

15.38. Una cuerda de 1.50 m de largo se estira entre dos soportes con una tensión que hace que la rapidez de las ondas transversales sea de 48.0 m>s. ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de a) la fun- damental, b) el segundo sobretono y c) el cuarto armónico?

15.39. Un alambre con masa de 40.0 g está estirado de modo que sus extremos están fijos en puntos separados 80.0 cm. El alambre vibra en su modo fundamental con frecuencia de 60.0 Hz y amplitud en los an- tinodos de 0.300 cm. a) Calcule la rapidez de propagación de on- das transversales en el alambre. b) Calcule la tensión en el alambre. c) Determine la velocidad y aceleración transversales máximas de las partículas del alambre

. 15.40. Un afinador de pianos estira un alambre de piano de acero con una tensión de 800 N. El alambre tiene 0.400 m de longitud y una masa de 3.00 g. a) Calcule la frecuencia de su modo funda- mental de vibración. b) Determine el número del armónico más alto que podría escuchar una persona que capta frecuencias de hasta 10,000 Hz

. 15.41. La forma de una cuerda delgada tensa que está atada por ambos extremos y oscila en su tercer armónico se describe con la ecuación don- de el origen está en el extremo izquierdo de la cuerda, el eje x está a lo largo de la cuerda y el eje y es perpendicular a la cuerda. a) Dibuje el patrón de onda estacionaria. b) Calcule la amplitud de las dos ondas viajeras que constituyen esta onda estacionaria. c) ¿Qué longitud tiene la cuerda? d) Calcule la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de las ondas viajeras. e) Calcule la rapidez transversal máxima de la cuerda. f) ¿Qué ecuación y(x, t) tendría esta cuerda si vibrara en su octavo armónico?

15.42. La función de onda de una onda estacionaria es Para las dos ondas viajeras que forman esta onda estacionaria, determine a) la amplitud; b) la longitud de onda; c) la frecuencia; d) la rapidez; e) las funciones

Problemas de desafío

15.80. Ondas longitudinales en un resorte. Suele usarse un resorte largo blando (como SlinkyTM) para demostrar las ondas longitudinales. a) Demuestre que si un resorte que obedece la ley de Hooke tiene masa m, longitud L y constante de fuerza la rapidez de ondas lon- gitudinales en él es b) Evalúe v para un resorte con m 5 0.250 kg, L 5 2.00 m y kr 5 1.50 N>m

15.81. a) Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energía ciné- tica por unidad de longitud de la cuerda es

e) Calcule up(x, t) para una onda senoidal dada por la ecuación (15.7). f) Demuestre que uk(x, t) 5 up(x, t) para toda x y t. g) Grafique y en función de x para t 5 0; use los mismos ejes para las tres curvas. Explique por qué uk y up son máximos donde y es cero, y viceversa. h) Demuestre que la potencia instantánea en la onda, dada por la ecuación (15.22), es igual a la energía total por uni- dad de longitud multiplicada por la rapidez de onda v. Explique por qué este resultado es lógico.

15.82. Un buzo está suspendido bajo la superficie de Loch Ness por un cable de 100 m conectado a una lancha en la superficie (figu- ra 15.40). El buzo y su traje tienen una masa total de 120 kg y un vo- lumen de 0.0800 m3. El cable tie- ne un diámetro de 2.00 cm y una densidad lineal de masa m51.10 kg>m. El buzo cree ver algo que se mueve en las profundidades y tira del extremo del cable hori- zontalmente para enviar ondas transversales por el cable, como señal para sus compañeros en la lancha. a) Calcule la tensión en el cable en el punto donde está co- nectado al buzo. No olvide incluir la fuerza de flotabilidad que el agua (densidad de 1000 kg>m3) ejerce sobre él. b) Calcule la tensión en el cable a una distancia x arriba del buzo, incluyendo en el cálculo la fuerza de flotabilidad sobre el cable. c) La rapidez de las ondas transversales en el cable está dada por (ecuación 15.13). Por lo tanto, la rapidez varía a lo largo del cable, ya que la tensión no es constante. (Esta expresión no consi- dera la fuerza de amortiguación que el agua ejerce sobre el cable en movimiento.) Integre para obtener el tiempo requerido para que la pri- mera señal llegue a la superficie.

15.83. Una cuerda uniforme con longitud L y masa m se sujeta por un extremo y se gira en un círculo horizontal con velocidad angular v. Desprecie el efecto de la gravedad sobre la cuerda. Calcule el tiempo que una onda transversal tarda en viajar de un extremo de la cuerda al otro.

15.84. Potencia instantánea en una onda estacionaria. Por la ecuación (15.21), la rapidez instantánea con que una onda transmite energía por una cuerda (potencia instantánea) es

15.85. Desafinación. La cuerda B de una guitarra está hecha de acero (densidad 7800 kg>m3) y tiene 63.5 cm de longitud y 0.406 mm de diámetro. La frecuencia fundamental es f 5 247.0 Hz. a) Calcule la tensión en la cuerda. b) Si la tensión F se modifica en una cantidad pequeña DF, la frecuencia f cambia una cantidad pequeña Df. Demues- tre quE c) La cuerda se afina como en el inciso a) cuando su temperatura es de 18.5 °C. Si la guitarra se pulsa vigorosamente, la temperatura en la cuerda subiría, con lo que cambiaría su frecuencia de vibración. Calcu- le Df si la temperatura de la cuerda sube a 29.5 °C. La cuerda de acero tiene un módulo de Young de 2.00 3 1011 Pa y un coeficiente de ex- pansión lineal de 1.20 3 1025 (C°)21. Suponga que la temperatura del cuerpo de la guitarra se mantiene constante. ¿La frecuencia de vi- bración aumentará o disminuirá?

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