Ejercicios complementarios de matematicas

MATEMATICAS 1 { Curso 2017/18 Bloque I { Ejercicios complementarios 3 (Soluciones)

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1. Discute de forma razonada la continuidad de la siguiente funcion, indicando el tipo de

discontinuidad en su caso.        (2 ptos)

Por tanto, f presenta una discontinuidad de salto  nito en x = 1.

Df = fx 2 R : x2 > 0; (1 + x)2 6= 0g = fx 2 R : x 6= 0; (1 + x) 6= 0g =

fx 2 R : x 6= 0; x 6=  1g = R  f 1; 0g = (  1;  1) [ (  1; 0) [ (0; +1)

1

3. Enuncia el Teorema de Bolzano. Apl calo para demostrar que la ecuacion

ln(x) = 2  x

tiene al menos una solucion en el intervalo (1; e).        (1.5 ptos)

Solucion:

Teorema de Bolzano: Si f es una funcion continua en [a; b] tal que f(a) f(b) < 0, entonces existe c 2 (a; b) tal que f(c) = 0.

La ecuacion ln(x) = 2 x es equivalente a ln(x) 2 + x = 0. Consideremos la funcion f(x) = ln(x) 2 + x.

Se tiene que f esta bien de nida y es continua en [1; e], f(1) =  1 < 0 y f(e) = e  1 > 0.

Por lo tanto, en virtud del Teorema de Bolzano, existe x 2 (1; e) tal que f(x) = 0, es decir, la ecuacion ln(x) = 2 x tiene una solucion en el intervalo (1; e).

4. Responde a las siguientes cuestiones.        (2.25 ptos)

1. Calcula la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2; 1) y (4;  3).

1. Calcula la ecuacion de la recta perpendicular a la del apartado anterior y que pasa por el punto ( 1; 2).

1. Calcula el coseno del angulo que forma la recta 2y  x = 4 con el eje X.

Solucion:

(a) Un vector director de la recta que pasa por a = (2; 1) y b = (4;  3) es v = b  a =

ecuacion punto-pendiente, la ecuacion de la recta que buscamos es

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