EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

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EJERCICIOS DE RECTA Y PLANO

1. Sean las rectas  [pic 1]      ,     [pic 2]

1. Halle  [pic 3], si existe, tal que [pic 4] sea paralela al vector  [pic 5].
2. Para  [pic 6]  , determine si  [pic 7]  son coplanares o alabeadas, y halle la ecuación del plano que las contiene y/o la distancia entre ellas, según corresponda.

Rta.: a) No existe k     b) Son alabeadas, [pic 8]

1. Calcule la distancia de la recta  [pic 9] al plano  [pic 10] que contiene al eje “ z”  y que es paralelo a la recta [pic 11].  Grafique el plano.

Rta.: [pic 12]; [pic 13]

1. Dadas la recta [pic 14], y los puntos  [pic 15]   

1. Halle  [pic 16] , si existe, tal que [pic 17] pertenezca a la recta  r.
2. Para  k = 2, halle la ecuación paramétrica del plano que pasa por A y contiene a la recta r.

Rta.: a) No existe k     b) [pic 18]

1. Sean las rectas :   [pic 19]     , [pic 20]   [pic 21]

1. Determine si son alabeadas.
2. Calcule la distancia entre ellas o su intersección, según corresponda

Rta.: a) Son alabeadas b) [pic 22]

1. Sean las rectas :  [pic 23]   ;   [pic 24]     [pic 25]

Obtenga las ecuaciones de todos los planos [pic 26] que cumplen con las siguientes condiciones:

[pic 27]  y  distancia[pic 28]

Rta.: [pic 29]

1. Sean:  [pic 30]       y      [pic 31]

Determine los valores de  t  y  h [pic 32] para los cuales  [pic 33]

Rta.: [pic 34]

1. Sean:  la recta  [pic 35] 

y el plano         [pic 36]

1. Halle el  valor de “k” para que la recta “r” sea paralela al plano π.
2. Para el valor de “k”     hallado, calcule la distancia entre la recta y el plano.

Rta.: a) k = -1  b) [pic 37]

1. Dadas las rectas:  [pic 38]                  

1. Demuestre que se cortan en un único punto, y calcule las coordenadas de dicho punto.
2. Halle la proyección del punto A(1,1,0) sobre el plano que determinan las rectas L1 y L2.

Rta.:  a) I(-1,4,2)   b) [pic 39]

1. Sea la recta  [pic 40]     

1. Halle  todos los [pic 41] tales que la distancia de la recta al origen de coordenadas sea  d = 1
2. Grafique ambos planos y la recta intersección cuando k = 1

Rta.:  a) k = -1  b) [pic 42]

1. Sean los planos:  [pic 43].

1. Halle [pic 44] , si existe, tal que la recta que determinan ambos planos esté incluida en el plano coordenado [pic 45] 
2. Para  k = 2 , grafique ambos planos utilizando sus trazas,  y la recta intersección entre ambos planos.

Rta.: a) k = 1   b)  [pic 46]

1. Dado el plano  [pic 47]     y el haz de planos    [pic 48],  halle un plano perteneciente al haz que sea perpendicular a [pic 49].

Rta:   [pic 50]

1. Sean   [pic 51]    y     [pic 52]

1. Halle “a” para que  L1  y  L2 sean coplanares.
2. Encuentre todos los puntos P  pertenecientes al  eje “y”  tal que la distancia al  plano que contiene a  [pic 53]  y   [pic 54]  sea igual a  [pic 55]

Rta:   a)  a = 2    b)    P[pic 56]( 0 ; -23 ; 0 )      P[pic 57](  0 ; 18 ; 0 )

1. Dada la recta   [pic 58]    y  el plano    [pic 59]

1. Halle la ecuación del plano  β , que contiene a la recta  L  y es perpendicular al plano  α.
2. Halle la proyección de la recta  L  sobre el plano  α.

Rta:     a) [pic 60]  b) L´:  [pic 61]

1. Halle los valores de las constantes  “a” y  “b”, tal que la proyección de la recta

[pic 62] sobre el plano [pic 63]  resulte un solo punto. Encuentre dicho punto.

Rta:    [pic 64]      P ( 6 ; 1 ; 12 )

1.   Determine la ecuación de la recta que contiene al origen, es perpendicular a la recta                                                                    

 [pic 65]    y corta a la recta     [pic 66]                                         

Rta:          [pic 67]

1. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por  A(3, 6, 4), corta al eje z  y es paralela al plano  [pic 68]. Calcule la distancia de la recta al plano.

Rta:       [pic 69]       dist( r,π) = [pic 70]

1. Halle la ecuación del plano que contiene a la recta   [pic 71]  y forma un ángulo de 30° con la recta  r  :  [pic 72], grafique la recta s  y los planos. ¿Cuál es la posición relativa de  s  y    r?. Justifique

Rta:     [pic 73]     Alabeadas

1. Dada la recta    [pic 74]

1. Halle la proyección de L sobre el plano   [pic 75]
2. Halle la ecuación del plano que contiene a  L y a su proyección.

Rta:  a)  Es la recta L , ya que la recta L está contenida en el plano π.     

      b) [pic 76], es un haz de planos que se construye con dos planos    

cualesquiera que contengan a la recta L.

1. Halle el punto contenido en la recta   [pic 77] cuya proyección sobre el plano “yz”

es  ( 0 ; 1 ; -2 ).

Rta:   ( 3 ; 1 ; -2 )

1. Halle todos los puntos P del plano “xy” tal que la distancia al plano   [pic 78]  es igual a 1. ¿Qué lugar geométrico representa el conjunto de todos los puntos P?. Grafique.

Rta:   [pic 79]   dos rectas paralelas al eje x.

EJERCICIOS DE ESPACIO VECTORIAL

1. Justifique si la siguiente afirmación es V o F (Si es verdadera debe demostrarlo y si es falsa es suficiente con un contraejemplo)

Sea el espacio vectorial  [pic 80]

Si [pic 81] es l. indep. entonces [pic 82] es  l. indep.

Rta.:  Falso, si k = 4,  B no es linealmente independiente.

1. Dado el conjunto S = {( x ; y ; z ) [pic 83] R[pic 84]/ ( x ; y ; z ) [pic 85] ( 1 ; -1 ; 2 ) = ( 0 ; 0 ; 0 )}

1. Dé la interpretación geométrica de S.
2. Analice si S es un subespacio de R[pic 86]y en caso afirmativo halle una base y su dimensión.

Rta: a)  Es una recta que contiene al origen y es paralela al vector ( 1 ; -1 ; 2 ) b)  S es un subespacio de dimensión uno donde { ( 1 ; -1 ; 2 ) } es una base.

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