Ejercicios tipo prueba probabilidades

PROBLEMAS TIPO PRUEBA

Prob. 1: Sea la siguiente función de densidad de probabilidad

[pic 1]

1. Encuentre el EMV del parámetro . [pic 2]
2. Estudie el Insesgamiento del EMV encontrado en (a). Si no lo es proponga otro para que lo sea.
3. Pruebe que el estimador encontrado en (a) es consistente.

Prob. 2: El Banco del Estado de Chile desea comparar las medias de los saldos de tarjetas de crédito internacionales de dos sucursales. Muestras aleatorias de clientes con tarjetas en ambas sucursales dieron como resultado lo siguiente:

Sucursal 1: [pic 3]

Sucursal 2: [pic 4]

a) Utilice un test de hipótesis para ver si la media de los saldos de tarjetas de créditos es igual en ambas sucursales () versus si es mayor en la sucursal 1 que en la sucursal 2 (). Para esto se pide construir la región crítica, considerando = 0.05. Asuma normalidad en cada población con varianzas desconocidas, pero iguales. [pic 5][pic 6][pic 7]

b) Calcular el error tipo II, si la diferencia de ambas medias poblacionales es igual a 50 dólares.

Prob. 3: Suponga que X es una v.a. con densidad uniforme en el intervalo [pic 8]. Se desea estimar la siguiente hipótesis en base a una m.a. de tamaño 100 obtenida de esta población:

        [pic 9] frente a la alternativa [pic 10]. Si la [pic 11].

1. Calcule el error tipo I.                                                                
2. Calcule el error tipo II.                                                                

NOTA: [pic 12], [pic 13] y [pic 14]

Prob. 4: Para  y . Sea . Se asume que las variables aleatorias  constituyen un conjunto de  variables independientes. Además, para . Se definen[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

     y    .[pic 21][pic 22]

1. Construya un intervalo de confianza al  por ciento dado para el parámetro[pic 23]

 .  [pic 24]

1. Construya un intervalo de confianza al  por ciento para . [pic 25][pic 26]
2. Si    Calcule e interprete el intervalo de confianzaencontrado en (a) con un 95% de confianza. [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Prob. 5: Se tiene la siguiente hipótesis  La desviación estándar poblacional es de 0.18. En base a una muestra aleatoria de tamaño 36 se obtuvo la siguiente región crítica .[pic 31][pic 32]

1. Calcular la probabilidad de error tipo I.  
2. Calcular la probabilidad de error tipo II cuando   [pic 33]
3. Encuentre la potencia del test.

Prob. 6: El supervisor de una construcción necesita calcular los precios con mucho cuidado antes de presentar un presupuesto. También debe tomar en cuenta la incertidumbre (variabilidad) en las cantidades de los productos que podría necesitar. Para simplificar el proyecto decide que la cantidad de arena, en toneladas, necesaria para un proyecto de construcción es una variable aleatoria 10, 0.25). La cantidad de concreto necesario, en cientos de libras, también es una variable aleatoria .  La arena cuesta $7 por tonelada y el concreto cuesta $3 por cien libras. Agregando otros $100 por otros tipos de costos, el supervisor calcula su costo total en[pic 34][pic 35]

T=100 + 7 + 3. Si son variables aleatorias independientes:[pic 36][pic 37][pic 38]

1. Construya un Intervalo de confianza al    por ciento para el costo total promedio real. [pic 39]
2. Si se toman muestras aleatorias de tamaño 30 y 40, las cuales arrojaron una media de 9 y 3, respectivamente. Calcule el intervalo de confianza encontrado en (a) al 95%. Concluya.

Prob. 7: Para el control de infecciones en frutas pueden emplearse tres pesticidas diferentes. Se sospecha que el pesticida 3 es más eficaz que los otros dos. En un huerto en particular, se eligen para su estudio tres plantaciones diferentes de uvas Pinot Noir. Los resultados obtenidos en la cosecha son los siguientes:

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