Ejersicios de ecuciones diferenciales aplicables

Problemario 3 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden y solución a las ecuaciones diferenciales de orden “n”.

INSTRUCCIONES GENERALES:

-  Elaborar la solución de los problemas a computadora, empleando las herramientas necesarias para una buena presentación (editor de ecuaciones de Word)

-   Anexar una carátula de presentación al principio del contenido de la solución

-   La fecha límite de entrega es única para día 03 de Abril de 2020

-  La solución se recibirá únicamente en forma digital.  Adjuntar el archivo en la plataforma classroom (el nombre del archivo será el nombre correspondiente de cada alumno(a)).

-  No se aceptarán excusas de ningún tipo.

-  Problemas copiados o compartidos serán cancelados

-  Se calificará la solución y los procedimientos correctos, la forma de presentar los procedimientos (operaciones), el uso de la tecnología y el tiempo de entrega.

-   La calificación  del problemario se ponderará al 30% del total de las competencias.

1) Resolver los siguientes problemas de aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.1)  La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que hay en dicho instante. Después de 3.3 horas se observa que se tiene 980 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 4 800. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?                                            

1.2)  Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay  870 miligramos de material presente y después de 5 horas se observa que el material ha perdido el 14.8% de su masa original, hallar:

a)  La expresión matemática para la masa de material presente en cualquier tiempo.

b)  La cantidad de masa que habrá pasados 24 horas.

c)  El tiempo para el cual la masa se ha desintegrado en 98% de su masa original

d)  ¿Cuál es la mida media del material radiactivo?

1.3)  Para un circuito L-R en serie en el cual la inductancia es de 0.03H y la resistencia es de , se le aplica una tensión variable de . [pic 1][pic 2]

a)  Determine la ecuación de la corriente en función del tiempo si  [pic 3]

b)  Calcule el valor de la corriente en  [pic 4]

c)  Hallar las ecuaciones de las caídas de tensión en la inductancia y en la resistencia para cualquier tiempo t

d)  Verifique que se cumple la segunda ley de Kirchhoff para [pic 5]

1.4)  Para un circuito L-R en serie en el cual la inductancia es de 0.01H y la resistencia es de , se le aplica una tensión de . Determine la ecuación de la corriente en función del tiempo si  y calcule el valor de la corriente cuando [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

1.5)  En una explotación ganadera de 3500 cabezas de ganado se ha detectado un animal contagiado de un virus mortal.  Se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al producto de cabezas contagiadas y el tiempo transcurrido y se modela por la siguiente ecuación diferencial.

[pic 10]

Donde:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Si se observa que después de 4 días hay 12 cabezas contagiadas con el virus

a)  Hallar la ecuación que modela la cantidad de cabezas contagiadas para cualquier tiempo t.

b)  ¿cuantas cabezas se contagiaran al cabo de 14 días?

c)  Determinar el tiempo que debe trascurrir para que se contagien todas las cabezas

1.6) Un termómetro que marca  dentro de una casa, se pone en el exterior donde la temperatura del aire es de  cinco minutos después se observa que el termómetro indica   Hallar la ecuación que modela la temperatura para diferente valores del tiempo y calcular el tiempo para el termómetro indique una temperatura de [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

1.7)  Inicialmente había 900 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 7 horas la masa disminuyó un 23%.  Si la rapidez de desintegración es en un instante cualquiera proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, hallar la cantidad que habrá después de 24 horas.

1.8)  A un circuito R-C en serie, en el que la resistencia es de  y la capacitancia es de , se le aplica una tensión de . Determinar la ecuación de la carga y de la corriente en cualquier tiempo, si [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

1.9)  Una población de bacterias B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a la cantidad presente de bacterias en dicho instante. Si entre el medio día y las 3:00 pm, la población de bacterias se ha triplicado, ¿a qué hora se tendrá 15 veces la cantidad inicial de bacterias, si no se efectúa ningún control sobre ellas?

1.10)  Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 900 organismos (bacterias), cuatro días después de haber sido embotelladas y al noveno día se encuentran 4000 organismos.

a)  ¿Cuál es el número de organismos en el momento de embotellar la leche? Si la reproducción de las bacterias cumple con la ley de crecimiento natural.

b)  A los cuantos días la leche caduca, si se considera que el límite es de 1200 bacterias.

1.11)  La población de cierta ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 1200 habitantes y aumenta el 20% en 12 años. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 30 años?

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