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Ecuaciones Diferenciales Aplicadas A Diferentes Arias


Enviado por   •  13 de Noviembre de 2012  •  2.631 Palabras (11 Páginas)  •  527 Visitas

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Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era: dy / dt = con solución y = ce Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0. y

Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si > 0 entonces

tenemos que y!" si t!”, así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto está en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo. Formulación Matemática:

Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces: dy / dx = F(y) y = Yo para t=0 Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada yPuesto que la ecuación F(y) = por la función cuadrática F(y) =

y², y = Yo para t = 0. y -

y² es de variables

separables, tenemos dy / ( Esto es, "1/ / y] dy = t + c = 1/ [ln y - ln ( y)] = t + c Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que: Y= 1+[ / / __ / Yo - 1] e y[1/y + y² = dt ó " dy / y y) = t + c

Si tomamos el límite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que Ymax = lim Y = t!" > 0, que: /

Por simple álgebra encontramos: Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2) t!" Y1² - YoY2

Ejemplo: Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.

Edad Nacimiento 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años Altura (pul) 19.4 31.3 34.5 37.2 40.3 43.9 48.1 52.5 56.8

Solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0, 1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8. Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pulgadas o 5 pies con 7 pulgadas como la altura media máxima requerida.

Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil.

Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t. El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse: D = (p(t)),p´(t) Llamamos la función de demanda. Similarmente, el número de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir más, la oferta disponible tiende a incrementar

anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse: S = g(p(t), p´(t) Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), está determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir: (p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t)) Las formas que debería tener y g son las siguientes: D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3 S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3 donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión: A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3 (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3 Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como: p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2 Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado: p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios. Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3-A3)/A1-B1), esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta quelos factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3. Ejemplo: La

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