Ecuaciones Diferenciales

Ensayo

Importancia de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil

Juan Sebastian Gutierrez Gomez

Unimeta

2013

Historia de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus comienzos has contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que aparece su derivada.

En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco etapas, donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa iría desde los inicios hasta 1820 cuando Cauchy publica su teorema de existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La tercera comienza en 1870 con M. S. Lie (1842 – 1899) y la aplicación de la teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 – 1941) y teorema de existencia. La construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1930 estudia ecuaciones diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el análisis funcional.

Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia finales del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1550 – 1617) cuando invento los logaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial.

Lo infinitamente pequeño tenia para Galileo Galilei (1564 – 1642) una importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo necesitaba en su dinámica. Galileo analizo el comportamiento del movimiento de un proyectil con una componente horizontal y uniforme, y una componente vertical uniformemente acelerado, consiguiendo demostrar que la trayectoria del proyectil, despreciando la resistencia del aire, es siempre una parábola. Estudió el problema del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre y se puede considerar que utilizó para su resolución ecuaciones diferenciales. De Pierre Fermat (1601 – 1665) dice Laplace que es el inventor del cálculo diferencial.

Las ecuaciones diferenciales aparecen simultáneamente al cálculo infinitesimal. Por ejemplo en 1638 apareció el problema de la tractriz, propuesto por René Descartes (1596 – 1650) a Fermat, que realmente es un problema de tangentes a una curva, (o pudo resolverlo pues conocía el cálculo), fue resultado de 1674 por Leibniz y en 1690 por Jakob Bernoulli, cuando ya se conocían los trabajos de Newton y Leibniz.

Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton (1642 – 1727) y Gottfried Withelm Leibniz (1648 – 1716).

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es:

• FLEXION

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