Ecuaciones Diferenciales

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3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) 2

Ecuaciones lineales: teoría básica

Un problema de valor inicial de n-ésimo

orden consiste en resolver la EDO lineal:

sujeta a las n condiciones iniciales:

Resolverlo consiste en encontrar una función

y(x) en definida en un intervalo I que contiene a

x 0 , donde se cumplen la ecuación y las

condiciones iniciales.

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1

1

1 x g y x a

dx

dy

x a

dx

d

x a

dx

y d

x a

n

n

n n

n

n

= + + + +

−

−

− "

1 0

)1 (

1 0 0 0 ) ( , , ) ( , ) ( −

− = = ′ =

n

n y x y y x y y x y "3

Existencia de una solución única

(Condición suficiente)

Sea a n (x), a n-1 (x), …, a 0 (x), y g(x) continuas en I,

con a n (x) ≠

0 para todo x de I. Si x = x 0 es

cualquier punto de este intervalo, entonces existe

una solución y(x) del problema anterior en I y es

única.

•Ejemplo:

posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer

orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única

solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.

0 )1( ,0 )1( , 0 )1( ,0 7 5 3 = ′′ = ′ = = + ′ + ′′ + ′′′ y y y y y y y4

• Ejemplo: Comprueba que y = 3e 2x + e –2x – 3x es la

única solución de

La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos

funciones continuas, y a 2 (x) = 1 es distinto de 0 en

cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución

propuesta cumple la EDO y es única en I.

1 )0(' ,4 )0( , 12 4 " = = = − y y x y y

Comprueba que y = cx 2 + x + 3 es solución del PVI:

en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que el

coeficiente de la derivada a 2 (x) = x 2 más alta se hace cero en x = 0 y ese

punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las

condiciones iniciales.

1 )0( , 3 )0( ,6 2 2 2 = ′ = = + ′ − ′′ y y y y y x5

Problemas de valores en la frontera

• Resolver:

sujeta a :

se llama problema de valor

en la frontera (PVF) y a las

restricciones se conocen

como condiciones de contorno

o condiciones en la frontera.

Nota: Las condiciones de contorno

pueden ser también sobre las derivadas.

) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 2

2

2 x g y x a

dx

dy

x a

dx

y d

x a = + +

1 0 ) ( , ) ( y b y y a y = =6

Vimos que x = c 1 cos 4t + c 2 sin 4t era solución de

(a) Supongamos el PVF

Si x(0) = 0, entonces c 1 = 0, y x(t) = c 2 sen 4t.

Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0 independientemente

de c 2 . De modo que tenemos infinitas soluciones.

(b) Si

tenemos que c 1 = 0, c 2 = 0:

x(t) = 0, solución única.

0 16 " = + x x

0

2

, 0 )0( , 0 16 = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= = + ′′

π

x x x x

0

8

...