APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SUGUNDO ORDEN

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO

Nombre. Anderson Mora C. COD. 800

Fecha. 12-Diciembre-2011

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SUGUNDO ORDEN

Movimiento Armónico Simple (RESORTES)

Supóngase que un cuerpo de masa m está sujeto al extremo de un resorte flexible (de

peso despreciable), suspendido de un soporte rígido.

Cuando el peso está en reposo, describimos su posición como la posición de equilibrio.

Si el cuerpo se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo

un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio (ver figura 5.1). Nuestro

propósito es estudiar el movimiento del cuerpo, conocido como movimiento armónico

simple, en el cual se ignora cualquier fuerza de fricción con el medio que lo rodea.

En este caso, las únicas fuerzas que actúan son:

• Una fuerza de restitución, /r , opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional

a su magnitud (Ley de Hooke). En términos simples fr = kd, donde k es

una constante de proporcionalidad y d la magnitud del alargamiento.

• El peso del cuerpo, dado por W = mg.

Adoptaremos la siguiente convención. Todas las cantidades (desplazamiento, velocidad,

aceleración y fuerza), medidas hacia abajo desde la posición de equilibrio se

considerarán como positivas. Las que se miden hacia arriba, son negativas.

En la posición de equilibrio

mg — ks = 0.

Ahora, al desplazar el cuerpo de esta posición en una magnitud x y soltarla, de la Segunda

Ley de Newton se sigue que

y usando la condición de equilibrio, resulta

(5.1)

El signo negativo indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en dirección opuesta

a la del movimiento.

Podemos escribir la ecuación (5.1) en la forma

O bien

(5.2)

Donde w^2=k/m.

La ecuación (5.2) es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple

o movimiento vibratorio no amortiguado.

Hay dos condiciones iniciales asociadas con (5.2), a saber

que representan el deplazamiento y velocidad iniciales, respectivamente. Por ejemplo, si

Xo < 0 y Vo > 0 entonces el movimiento se inicia en un punto que está |Xo| unidades

arriba de la posición de equilibrio y con una velocidad inicial dirigida hacia abajo.

Si Xo > 0 y V0 = 0, la masa está inicialmente en reposo a Xo unidades abajo de la posición

de equilibrio.

La ecuación auxiliar de (5.2) es

Cuyas raíces son imaginarias puras

En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial (5.2) es

Donde C_1 y〖 C〗_2 son constantes que dependen de Xo y Vo

Nótese que independientemente de los valores de C_1 y〖 C〗_2, la ecuación del movimiento

armónico simple (5.3), define una función periódica de periodo T = 2π⁄(w )y describe un

movimiento ideal en el que el cuerpo se mueve alternadamente hacia arriba y hacia abajo

de la posición de equilibrio, infinitas veces.

El periodo T es el tiempo necesario para que se complete un ciclo y su recíproco

f=1/T se llama la frecuencia. El desplazamiento máximo del cuerpo, medido desde

la posición de equilibrio, se llama la amplitud.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1.

Se encontró experimentalmente que un peso de 4 lb estira un resorte 6

pulgadas. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida

hacia abajo de 4 pulg/s, determine:

a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimieno.

b) La ecuación del movimiento.

c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.

d) El periodo, la frecuencia y la gráfica de la solución.

Solución. Ya que 6 pulgadas equivalen a 1/2 ft, de la Ley de Hooke tenemos que

De donde

Además m = W/g = 4/32 = 1/8 slug.

a) Luego, de (5.2), la ecuación diferencial que describe el movimiento es

o bien

sujeta a las condiciones iniciales

b) La ecuación auxiliar de (5.4) es r2 + 64 = 0, cuyas raíces son r = ±8z. En consecuencia

la solución general de (5.4) viene dada por

c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, están dadas, respectivamente por

lo cual indica que el cuerpo se encuentra a 0.011996 ft arriba de la posición de equilibrio

moviéndose hacia arriba.

d) El periodo y la frecuencia son

Claramente, la amplitud es de 1/24 ft. La solución muestra que una vez que el sistema se

pone en movimiento, permanece en tal estado con la masa desplazándose alternadamente

1/24 ft hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. La gráfica se muestra en la

figura 5.2.

EJEMPLO 2

Una fuerza de 9 lb estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 lb se sujeta al resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36 pulg/s .

a) Determine la ecuación del movimiento x(t).

b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia

arriba por tercera vez?

c) ¿En qué instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?

Solución. Primero debemos observar que es necesario convertir a ft las longitudes expresadas

en pulgadas, usando la equivalencia

1 ft = 12 pulgadas.

a) Por la Ley de Hooke, se sigue que el valor de la constante del resorte k es

Además, m — 24/32 = 3/4 slug. De modo que la ecuación diferencial del movimiento es

En este caso, las condiciones iniciales son

Al resolver el problema de valores iniciales (5.10)-(5.11), obtenemos

b) Escribimos la solución (5.12) en la forma alternativa. Tenemos que

La gráfica de la ecuación del movimiento se muestra en la figura 5.4.

Los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio vienen dados

por las soluciones de la ecuación x(t) — 0, es decir

De aquí obtenemos la sucesión de valores de t

El tiempo pedido es claramente

c) Ahora, debemos hallar los valores de t para los cuales x(t) — 1/4, esto es

Notemos primero que la ecuación senθ=1/2 tiene como soluciones todos los números

θ de la forma π/6+2nπ y 5/6 π+2nπ, con n un número entero. Luego, el cuerpo está 3

pulgadas abajo de la posición de equilibrio en los instantes

Y

Obsérvese que en los tiempos t_n^((1)) el cuerpo se mueve hacia abajo de la posición de

equilibrio, mientras que en los tiempos t_n^((2)) lo hace hacia arriba.

Circuito LRC en Serie (APLICACIONES ELECTRICAS)

Ahora aplicaremos la teoría antes vista para determinar la carga q(t) y la corriente i(t)

en un circuito como el mostrado en la figura 5.15, en el que se conectan un inductor o

bobina de L henrys, una resistencia de R ohms, un condensador o capacitor de C farads

y un generador de voltaje cuya fuerza electromotriz está dada por una función E(t) volts.

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