Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN

Al pertenecer a un mundo en continuo cambio y al asumir nuestra responsabilidad de ser ingenieros, la importancia del curso Ecuaciones Diferenciales implica interés, compromiso, dedicación y responsabilidad para entender la clasificación, definición, técnica y aplicación de ecuaciones que al desarrollarse nos permitirá, hacer la diferencia entre los empíricos y lo profesionales.

Durante la carrera se adquieren conocimientos básicos para aplicar en las diferentes áreas como administración y producción, teniendo como objetivo relacionar variables, despejar ecuaciones y finalmente exponer la solución atreves de las ecuaciones diferenciales.

Este trabajo colaborativo se desarrolla utilizando herramientas como lo es el editor de ecuaciones de Word, plasmando el desarrollo de los ejercicios planteados con los diferentes aportes hechos por los integrantes del grupo, teniendo en cuenta el desarrollo paso a paso, con el respectivo procedimiento de cada ejercicio socializando y dando la respectiva solución.

Demostraremos la destreza para el manejo en la solución de ecuaciones diferenciales.

EJERCICIO 1

1. Defina el orden y la linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a). (1-y) y^''-4xy^'+5y=cos⁡(x)

Ecuación diferencial ordinaria

De segundo orden

No es lineal, porque algunas de sus derivadas, se hallan en productos cos (x), no afecta la linealidad, porque afecta a la variable independiente, pero pese a eso no es lineal.

b). xy^'''-2(y^' )^4+y=0

Es una ecuación diferencial ordinaria

Es de tercer orden

No es lineal, ya que algunas de sus derivadas se hallan inmersas en productos o también no lineal pues la variable dependiente (y´)^4 está afectada por la potencia 4.

EJERCICIO 2

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

a).

dy/dx=(xy+2y-x-2)/(xy-3+x-3)

Simplificamos:

dy/dx= (x+2)(1-y)/(3-x)(y+1)

Dividimos a ambos lados por: (1-y)/(y+1)

((y+1)dy/dx)/(1-y)=(x+2)/(3-x)

Integramos a ambos lados, con respecto a (x):

∫▒〖(y+1)(dy/dx)/(1-y) dx=∫▒〖(x+2)/(3-x) dx〗〗

Evaluamos las integrales y nos queda:

-y-2 ln⁡〖(1-y)=c-x-5 ln⁡(3-x) 〗

Resolvemos (y(x)) y nos queda:

y(x)=2W(√(ce^x (x-3)^5 )/(2√e))+1

La W es la función de Lambert.

b).

dy=(e^(3x+2y) )dx

Simplificamos:

dy/dx= e^(2y+3x)

Dividimos a ambos lados por: e^2y

(dy/dx)/e^2y =e^3x

Integramos a ambos lados, on respecto a (x):

∫▒〖(dy/dx)/e^2y dx〗=∫▒〖e^3x dx〗

Evaluamos las integrales:

-(1/(2e^2y ))=c+e^3x/3

Resolvemos (y(x)) y nos quedaría:

y(x)=-(1/2 ln⁡(-2/3 (3c+e^3x )) )

EJERCICIO 3

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

(2xy^2 + ye^x)dx + (2x^2 y + e^x -1)dy = 0

(d(2x^2 y + e^x -1))/dx=4xy+e^x=(d(2xy^2 + ye^x))/dy

f(x,y)=∫▒〖(2y^2 x+ye^x)dx〗

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