El Billar En La física

Billar y la física

Cuando dos bolas de billar chocan, las direcciones de sus velocidades justamente después del choque forman 90º. Sin embargo, deja de cumplirse la condición de que las bolas de billar ruedan sin deslizar, y como consecuencia de ello, la velocidad de su c.m. e incluso sus direcciones cambian durante un cierto tiempo, hasta que se restablece la condición de rodar sin deslizar. Las direcciones finales de las velocidades de las dos bolas dejan de formar 90º.

Una bola de billar rueda sin deslizar sobre el tapete con velocidad u1 y choca con una bola de billar idéntica en reposo. Vamos a determinar:

1. Las velocidades y direcciones de las bolas de billar inmediatamente después del choque

2. El movimiento posterior de las dos bolas de billar mientras deslizan sobre el tapete

3. Las velocidades finales constantes de las dos bolas de billar y sus direcciones cuando ruedan sin deslizar.

Choque bidimensional

Supondremos que las dos bolas de billar tienen la misma masa m y el mismo radio R, que el choque es perfectamente elástico, e=1. Despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las velocidades de los centros de masa de las dos bolas inmediatamente después del choque y sus direcciones están dadas por las expresiones.

V1=u1•senθ

V2=u1•cosθ

b=2R•senθ

b se denomina parámetro de impacto

En la figura se muestra, las velocidades del c.m. de las esferas y la velocidad angular de rotación, antes del choque y después del choque. La bola incidente rueda sin deslizar, la velocidad de su c.m. u1 y la velocidad angular de rotación ω1 forman 90º, la relación entre sus módulos es ω1=u1/R.

Después del choque, la velocidad angular de rotación no cambia, pero cambia la velocidad de su c.m. tanto en módulo como en dirección, los vectores V1 y ω1 no forman 90º y la relación entre sus módulos ω1≠V1/R.

Consideremos la bola que estaba inicialmente en reposo, su c.m. adquiere después del choque, una velocidad V2 formando un ángulo θcon el eje X , pero no tiene velocidad angular inicial de rotación, tampoco se cumple la condición de rodar sin deslizar ya queω2≠V2/R.

Movimiento de la bola incidente después del choque

La bola incidente tiene una velocidad u1 y rueda sin deslizar lo largo del eje X, su velocidad angular de rotación vale u1/R y su dirección es el eje Y,

ω1x=0

ω1y=u1/R,

La bola incidente inmediatamente después del choque adquiere una velocidad V0=u1•senθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo 90-θ con el eje X. La velocidad angular de rotación no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las componentes de la velocidad de su c.m. son

V0x= u1•sen2θ

V0y= u1•senθ•cosθ

Las componentes de la velocidad angular de rotación son

ω0x=0

ω0y=u1/R

Las componentes de la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal son,

v0x=V0x-ω0y•R= u1•sen2θ- u1=-u1•cos2θ

v0y=V0y+ω0x•R = u1•senθ•cosθ

El módulo de la velocidad inicial del punto P vale

v0= u1•cosθ

El movimiento del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acerados.

Las componentes de la velocidad del c.m. son

Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es

Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω0x=0 y ω0y=u1/R. Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola en el instante t son

La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t1 en el que la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal es nula

0=Vx-ωy•R

0=Vy+ωx•R

Despejamos el tiempo t,

La velocidad constante del c.m. de la bola en este instante es

El ángulo que forma el vector velocidad V1 con el eje X es

Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son

Ya que Rω1x=-V1y y Rω1y=V1x. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad del c.m. V, ya que el producto escalar ω•V=0

La relación ente sus módulos es V=R•ω

La posición del c.m. de la bola en este instante es

Movimiento de la bola inicialmente en reposo después del choque

El c.m. de la bola inicialmente en reposo después del choque adquiere una velocidad V0=u1•cosθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo -θ con el eje X. La velocidad angular de rotación ω0 que inicialmente es cero, no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque.

La bola se mueve a lo largo de la dirección que forma un ángulo θ con el eje X, sin desviarse. La fuerza

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