El infinito y más allá, los números transfinitos Aleph

El infinito y más allá, los números transfinitos Aleph

A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números finitos o transfinitos, según la cual el número total de fracciones, números enteros y números naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero.

A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales. De forma similar se podría pensar, también, que el número de fracciones es mayor que el de enteros, pero una cosa es lo que parece y otra lo que es.

La clave está en las extrañas propiedades de los números infinitos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos. Para objetos finitos de dos conjuntos diferentes si podemos establecer una "correspondencia uno-a-uno", entre ambos, se puede deducir que tienen el mismo número de elementos. Para un número finito de números naturales ocurre lo mismo, pero lo que es evidente para números finitos deja de serlo para infinitos.

Se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre los números naturales y los números enteros de la siguiente forma: 0(entero)--> 0(natural); -1(entero)--> 1(natural); +1 (entero)--> 2 (natural) y así seguimos indefinidamente con la siguiente tabla:

Cada entero y cada número natural aparecen una y sólo una vez en la tabla. Esta correspondencia entre cada par de números entero-natural es lo que establece en la teoría de Cantor que el número de elementos de la columna de enteros es igual al número de elementos en la columna de naturales. Por consiguiente, el número de enteros es el mismo que el de naturales. De forma similar, aunque algo más complicada, se puede probar que el conjunto de fracciones (racionales) tiene el mismo número de elementos que el conjunto de enteros. El número es infinito, pero no importa, es el mismo número.

El gran matemático David Hilbert se inventó la metáfora del Hotel Infinitopara explicar de forma intuitiva las paradojas a las que nos enfrenta la existencia de infinidad de infinitos:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi. El

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