Numeros transfinitos

Introducción

La presente monografía es llevada a cabo a pedido de los profesores de la catedra lectura y producción de textos científicos, la cual será evaluada de modo tal que permita la promoción de dicha catedra.

El tema escogido para el desarrollo de dicha monografía, es un tema que puede ser de sumo interés para muchas de las personas que se encuentran en el ámbito de la matemática, ya que es un extremo no tan conocido que contienen los números conocidos actualmente.

La monografía es realizada de forma práctica y sencilla, de modo que cualquier persona a la cual le interese interiorizarse en el conjunto de los números transfinitos, tenga una rápida y fácil comprensión, considerándose una breve descripción de su historia comenzando con el infinito, luego su desarrollo hasta concluir en los números transfinitos, además operaciones y características de los mismos.

Desarrollo de los números transfinitos

Partiendo de dos elementos como el espacio y el tiempo, los griegos se cuestionaban si son elementos finitos o infinitos, dichos cuestionamientos fueron los que desarrollaron las primeras preguntas sobre el infinito.

Para los egipcios, el infinito estaba representado por cada elemento que se podía considerar sin comienzo ni fin. A su vez, para ellos, el infinito estaba representado por un gráfico que muestra a un animal serpentiforme que devora su propia cola y que conforma, con su cuerpo, una forma circular, dicho animal fue llamado Oυροβóρος^[1]. El Ouróboros simboliza el ciclo eterno de las cosas, también el esfuerzo y la lucha eterna, ya que todo ciclo puede volver a comenzarse a pesar de los impedimentos que se presenten.

Pasados 30 siglos de la creación del Ouróboros, Maurits Escher^[2], considerando el mismo significado que tenía la serpiente, representó el infinito con dos manos, en la cual la primera de ellas dibujaba a una segunda mano y dicha segunda mano dibujaba a la primera.

El término infinito aparece por primera vez en la civilización griega en el siglo VI a.C., considerando a aquello infinito con el nombre de ἄπειρον^[3], que fue caracterizado como algo neutral, imperecedero, infinito, ilimitado, dicho término fue desarrollado por Anaximandro de Mileto^[4], quien a su vez consideró que el principio de todas las cosas es lo apeirón.

Como expresó el Doctor en estudios literarios Ortiz José Ramón vulgarmente se utiliza la palabra infinito para denotar algo muy grande, ilimitado, o imposible de contar. Pero el infinito va más allá de eso, el termino infinito da idea de algo ilimitado o inalcanzable, por dicho motivo ha sido una fuente de confusión a través de la historia; dando lugar a la confusión de los antiguos griegos, quienes trataron de comprenderlo sometiendo el infinito a la intuición del sentido común, la cual, estaba capacitada para girar en torno de un mundo finito por lo cual fueron conducidos a conclusiones contradictorias y paradójicas.^[5]

La idea del infinito fue rechazada por Aristóteles y los escolásticos, basándose en que el concepto de infinito generaba sus propias contradicciones.

En el siglo XVI, Galileo Galilei, juzgó la idea del infinito como incoherente, ya que las personas no pueden considerar un concepto que formalice lo que dicho elemento es, a su vez por el mismo motivo no puede ser cuestionado ni se puede hallar coherencia o contradicción entre los distintos infinitos.

En 1655, John Wallis publicó un tratado sobre las secciones cónicas, en su obra “Arithmetica Infinitorum”, en la cual Wallis implementó y desde ese momento popularizó el símbolo de infinito ∞. Él escribió, "Supongo que cualquier plano (siguiendo la Geometría Indivisible de Cavalieri) que se compone de un número infinito de líneas paralelas, o como yo preferiría, de un número infinito de paralelogramos de la misma altura; (la altitud de cada uno de éstos sea una parte infinitamente pequeña, es decir, 1/∞ de toda la altura, considerando que el símbolo ∞ denota infinitamente) y la altitud de todos, compensa la altitud de la figura”^[6]. A partir del siglo XVII se comienza a usar la curva lemniscata (∞) como símbolo del infinito.

Dos siglos después, en el siglo XIX, “Georg Cantor^[7] introdujo la palabra conjunto como un término matemático formal. El fundador de la teoría de conjuntos, sugirió imaginar a un conjunto como una ‘colección M de todos los objetos definidos y separados de nuestra intuición o de nuestro pensamiento. Estos objetos se llaman los elementos de M’. Cantor utilizó la letra M porque es la primera letra de la palabra conjunto en alemán: Menge”.^[8] A su vez, definiría el conjunto como una colección de objetos concretos o abstractos definibles y distinguibles considerados como un todo.

Un conjunto se puede denotar utilizando la notación en lista en la cual se escriben todos los elementos del mismo entre llaves. Para denotar un conjunto infinito podemos utilizar un símbolo representado por puntos suspensivos y leerlo, y así sucesivamente, como cuando escribimos {…, 0, 1, 2, 3,…} para referirnos al conjunto de todos los enteros.^[9] Los puntos suspensivos en dicho conjunto, se refieren a que el conjunto de los números enteros continúa infinitamente tanto a derecha como a izquierda.

En todo conjunto se cumple el axioma de extensión el cual consta que “un conjunto está completamente determinado por los elementos que están en él, no por el orden en el que se podrían utilizar o por la cantidad de veces que algunos elementos se encuentren listados, ya que podrían listarse más de una vez.”^[10]

A finales del siglo XIX, Georg Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual donde sostiene que si los conjuntos infinitos se comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere decir que no sean compatibles, sino que obedecen leyes aritméticas diferentes.

Mediante la teoría desarrollada por Cantor, concibió separar los conjuntos en clases a las que identificó como números cardinales. Para esto llevo a cabo un concepto de potencia o número cardinal de un conjunto M, la cual consistía en que “llamaremos potencia o número cardinal del conjunto M al concepto general que, por medio de nuestra facultad activa de pensamiento, resulta cuando se hace abstracción de la naturaleza de los elementos que le pertenecen y del orden en que están dados”^[11]

Cantor desarrolló la teoría de conjuntos transfinitos, la cual utiliza para referirse a los números ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural, y pasados más de 20 siglos de la introducción de dicha teoría, impulsó la unión de los conceptos de infinito actual y potencial de Aristóteles, a su vez permitió concretar el concepto de infinito de forma precisa.

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