El nuevo Sistema de Control para un sistema mecánico Simple

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Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Ingeniería Química

Dinámica y Control de Procesos

Dra. Claudia Araceli Ruíz Mercado

“Modelo de Control para un Sistema

Mecánico Simple”

Christian Enríquez Castro

Assael Moo Valle

Diana Puente Ramírez

9 de Junio de 2015

Contenido

Introducción        

Planteamiento del Problema        

Determinación de Estabilidad del Sistema        

Análisis de respuesta  dos señales de entrada        

Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz        

Lugar Geométrico de Raíces        

Lazo de Control        

Obtención de la Función de Transferencia Global del sistema        

Parámetros de diseño de control para el sistema.        

Sintonización de Controladores        

Método Ziegler Nichols        

Conclusiones        

Bibliografía        

Anexos        

Introducción

Un sistema es una combinación de elementos que actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. En ingeniería de control los sistemas se estudian reemplazándolos por modelos matemáticos. Sin embargo obtener un modelo matemático que caracterice de forma adecuada el comportamiento de un determinado sistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniería de control. Ningún modelo maten ático puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo, para que un modelo sea útil no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta con que represente los aspectos esenciales del mismo y que las predicciones sobre el comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo, sean lo suficientemente precisas. Los modelos se rigen con ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan modelos matemáticos en los que intervengan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuaciones no lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operación.

Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de la vida común, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos de traslación que "la suma de fuerzas en un sistema, sean estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la aceleración a que está sometida dicha masa".

Los sistemas mecánicos se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o resortes. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton:

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 Donde  es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y  es su desplazamiento. El parámetro constante  es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

La fuerza  que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su comportamiento es:[pic 7]

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El parámetro  es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el . Si una masa se desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), además de su propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizar matemáticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vacío o en el espacio exterior, fuera de la atmósfera.[pic 9][pic 10]

La fuerza  que restituye un resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia x que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke:[pic 11]

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La constante  representa la rigidez del muelle y su unidad es el . [pic 13][pic 14]

Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecánicos, se aísla cada elemento del sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento.

Planteamiento del Problema  

Consideremos el sistema mostrado en la Figura 1. Sea un cuerpo cuya masa es igual a 1 kg, atado a una base fija por un resorte, con una constantes k = 20 N/m y un amortiguador con una coeficiente = 10 Ns/m. El sistema es soltado desde el reposo en el tiempo t=0 en una posición en la cual 𝑀 está en su  posición de equilibrio. Despreciando los efectos de fricción, determinaremos la posición 𝑥 (𝑡) de 𝑀 en un tiempo t.[pic 15]

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Ilustración 1. Esquematización del Problema

Para resolver este sistema se parte de lo siguiente:

1. F1 es igual a F4 y de sentido contrario al no existir masa en el sistema resorte-amortiguador, y F4 tiene su opuesto en F5.
2. F1 se reparte entre F2 y F3. Lógicamente F2 y F3 resultan F5.
3.  Al estar unidos por sus extremos el resorte y el amortiguador, el valor de x es el mismo para ambos.

La ecuación diferencial  del movimiento queda de la siguiente forma:

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Sustituyendo los valores dados en el enunciado del problema  nos queda:

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Para hallar la función de transferencia del sistema, primero tememos que cambiar la ecuación  a transformada de Laplace, por lo que se obtiene la siguiente ecuación:[pic 19]

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Aplicando las condiciones iniciales [pic 21]

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De tal forma que la función de Transferencia está dada por:

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Determinación de Estabilidad del Sistema

Para poder determinar la estabilidad del sistema se procedió realizar un análisis de la función de transferencia, por lo que se puede observar a simple vista, nos podemos dar cuenta que el sistema no tiene ceros, y que presentará dos polos.

Para la obtención de los polos se procede a la obtención de las raíces del denominador de la función de transferencia:

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Por lo que podemos darnos cuenta que los polos se encuentran del lado izquierdo del plano s, por lo que esto quiere decir que el proceso es estable por naturaleza.

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Gráfica 1. Diagrama de Polos y Ceros en el Plano S

Análisis de respuesta  dos señales de entrada

El polinomio característico es , de manera que al aplicar al sistema un escalón unitario su respuesta será:[pic 29]

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Y en el dominio tiempo, la salida es  de la forma:[pic 31]

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Gráfica 2. Respuesta escalón de la Función

Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz

       1         5+Kc[pic 35][pic 34]

       2[pic 36]

        b1[pic 37]

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Para que el sistema sea estable es necesario que el sistema mantenga un valor para  de:[pic 40]

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Lugar Geométrico de Raíces

Debido a que el sistema cuenta con dos polos, el número de ramas que se presentarán también serán 2

En ausencia de ceros, los lugares geométricos terminarán en el infinito.

Asíntotas: las ramas del lugar geométrico tiene a comportarse como líneas rectas a manera de asíntotas, las cuales abandonan el eje real con un ángulo dado por:

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Centroide: el punto en el eje real del cual divergen las asíntotas se determina mediante la siguiente fórmula:

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Los polos se encuentran sobre el eje real, por lo que a continuación evaluaremos el punto de partida en donde se encontrarán los polos y se separarán hacia el eje imaginario

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