El teorema de Green

TEOREMA DE GREEN

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Curso:

Cálculo III – Práctica

Alumno(s):

Docente(s):

Turno:

Único - 215

Fecha de recepción:

06 de julio

2019 - “Año de la Lucha Contra la Corrupción e Impunidad”

El teorema de Green

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el reciento que es encerrado por la curva. Este teorema y demás de ese tipo resultan muy útiles a la hora de calcular, pues dados un ampo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual se tiene que integrar, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el reciento que es delimitado por la curva.

Teorema 1 (de Green)

Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano  y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea  un campo vectorial de clase . Entonces se tiene
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A veces es denotado como

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y se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria de la curva cerrada C).

Este teorema se puede usar para integrar campos sobre circunferencias y especialmente en el campo de la física, el teorema es muy importante para calcular el trabajo realizado por campos de fuerzas al mover partículas a lo largo de caminos.

Demostración

Antes de pasar a dar la demostración de este importantísimo teorema, cabe recalcar que la demostración del teorema yace fuera de los alcances de este curso, y algunos autores consideran lo mismo, por lo que deciden no demostrar el teorema, de todas formas, en este trabajo, se incluirá la demostración.

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Aplicaciones

Área como Integral Curvilínea

Sea D una región simplemente conexa con borde C liso a trozos. El área A de la región D es igual a la integral

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Demostración. Sea . Como F es continuamente diferenciable en D, se puede aplicar el Teorema de Green.[pic 27]

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Este resultado nos otorga otra técnica más para hallar el área de una región, especialmente cuando la frontera está dada en forma paramétrica.

Sea , dada por  una trayectoria de clase  que parametriza la frontera de una región R positivamente. Si tomamos el campo F(x,y)=(0,x) se obtiene según el teorema de Green.[pic 30][pic 31][pic 32]

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