Teorema de Green en el plano complejo
Enviado por 523451234 • 27 de Julio de 2022 • Informes • 2.245 Palabras (9 Páginas) • 48 Visitas
Variable compleja
Teorema de Green en el plano complejo
Sean funciones continuas con derivadas parciales continuas en la región D y su frontera . Entonces [pic 1][pic 2]
[pic 3]
donde dA es el diferencial de área. [pic 4]
Corolario
1) Si es como en el teorema , entonces [pic 5][pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
2) Si es la misma hipótesis del teorema, entonces [pic 9][pic 10]
Ejemplos
1) Si [pic 11]
entonces [pic 12]
[pic 13]
2) Si [pic 14]
Entonces *) [pic 15]
*) [pic 16]
Prob (1) Evalúe , donde es la frontera de [pic 17][pic 18][pic 19]
Solución
[pic 20]
*) [pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Cálculo del Jacobiano
Sea [pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30][pic 31]
Prob (2) Evaluar donde es la frontera de [pic 32][pic 33]
[pic 34]
Solución
[pic 35]
pero [pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
*) [pic 39]
[pic 40]
Sea [pic 41]
[pic 42]
Calculo del Jacobiano
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
(A) [pic 46]
pero [pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
En (A) [pic 52][pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61][pic 62]
Series de potencias en el plano complejo
Una serie de la forma se denomina serie de potencia en potencias de o alrededor de , donde los son los coeficientes de la serie [pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
Nota: Si la serie se reduce a [pic 67]
donde son los coeficientes de la serie [pic 68][pic 69]
Teorema (de Abel)
Dada la serie de potencia una y solamente una de las condiciones se cumplen: [pic 70]
1) La serie converge absolutamente solo en [pic 71][pic 72]
2) Existe converge absolutamente solo en [pic 73][pic 74]
y diverge en [pic 75]
3) Existe converge uniformemente en [pic 76][pic 77]
Observaciones
1) R>0 se llama radio de convergencia de la serie
2) se denomina región de convergencia (ROC) [pic 78]
3) Para hallar R y se aplica el criterio de la razón o de la raíz [pic 79]
i) Teorema (Criterio de la razón)
Sea tal que [pic 80][pic 81]
[pic 82]
1) Si L<1 , la serie converge absolutamente
2) Si L>1 (ó L = ) , la serie diverge [pic 83]
3) Si L = 1 , el teorema no da información
ii) Teorema (criterio de la raiz) Sea [pic 84]
tal que , entonces: [pic 85]
[pic 86]
1) Si L<1 , la serie converge absolutamente
2) Si L>1 (ó L = ) , la serie diverge [pic 87]
3) Si L = 1 , el teorema no da información
Problema(1): Dada la serie [pic 88]
a) Halle la región y radio de convergencia
b) Graficar la ROC
c) Halle la suma de la serie
Solución
a) Sea [pic 89]
[pic 90][pic 91]
la serie converge absolutamente si [pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
[pic 100]
[pic 101]
(radio de convergencia) [pic 102]
Calculo de la suma[pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]
Recordar: [pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134][pic 135]
[pic 136]
ROC[pic 137]
...