TEOREMA DE GREEN

TEOREMA DE GREEN

Parra Frank

Carrillo Camilo

Marco Fabian Monsalve Rodríguez

 Calculo Vectorial

Grupo M2

Facultad de Ingeniería

Ingeniería Mecánica

Universidad del Atlántico.

19/11/2022

INTRODUCCION

El teorema de Green ¿Qué es? Es un método de cálculo utilizado para relacionar las integrales de una línea con integrales dobles ya sea de un área o superficie. Las funciones que deben ser implicadas deben estar resuelto como campos vectoriales y definidas que estén dentro de la trayectoria C. Una manera de dar a entender este método es tomar de referencia una expresión de una integral de línea que sea complicada de resolver, pero al momento de implementar el teorema de Green, estas integrales dobles se vuelven bastantes fáciles de resolver. Hay que tener en cuenta que siempre hay que respetar el sentido de la trayectoria, esta tiene como referencia el sentido contrario a las agujar del reloj.

INTRODUCTION

Green's theorem. What is it? It is a method of calculation used to relate the integrals of a line to double integrals of either an area or surface. The functions to be involved must be solved as vector and defined fields that are within the path C. One way to imply this method is to reference an expression of a line integral that is complicated to solve, but when implementing Green's theorem, these double integrals become quite easy to solve. Keep in mind that you always have to respect the direction of the trajectory, this has as reference the counterclockwise direction.

1. MARCO TEÓRICO

El teorema de Green, así llamado en honor al matemático y físico ingles George Green (1793-1841) quien lo presento en un trabajo sobre las aplicaciones de las matemáticas a la electricidad y el magnetismo, en el que expresa una doble integral sobre una región plana R en términos de una integrar de línea sobre la curva de frontera R. Referimos a una integral de línea sobre una curva cerrada, siempre y suave dividida en trozos que constituyen una frontera de una región plana y el sentido en que se recorre C es el contrario al giro de las manecillas del reloj como se ve en la figura 1.

La expresión del Teorema de Green es la siguiente:

[pic 1] 

(1)

Como podemos observar en el primer término se observa la integral de línea que es definida por la trayectoria conocida como “C”, y el producto que es escalar entre la función vectorial “F” y el del vector “r”

¿Qué es C?: Es la trayectoria que está definida sobre la cual se proyecta la función vectorial esto siempre y cuando está definida para el plano correspondiente.

¿Qué es F?: Es la función vectorial, en donde cada uno de sus componentes está definido por una función tal y como esta “f” y “g”

¿Qué es r?: Es un vector relacionado a la región R. Sobre la que se define la integral, en este caso se usa con un diferenciar de el vector correspondiente

En este segundo término vemos que el teorema de Green más desarrollado, en donde podemos observar la integral doble que está definida en la región R con la diferencia de las derivadas parciales de “g” y “f”. Donde un diferencial de área que no es más que el producto de ambas diferenciales que son dx y dy.

Este teorema es aplicable para casos que en el espacio e integrales estén de superficie.

Ahora veremos cómo es la aplicación del Teorema de Green paso a paso y de una manera sencilla que se divide en 2 partes. (Figura 1)

[pic 2]

(figura 1)

Primeramente, vamos a asumir que la función vectorial nombrada F solo posee una definición en el versor “i”. Mientras la función “g” corresponde a un versor “j” igual a cero

En donde F = [pic 3]

En donde r = [pic 4]

Y en donde dr = [pic 5]

En donde lo primero que haremos es desarrollar la integral de la línea por sobre la trayectoria conocida como C, para lo cual sea ha sectorizado la trayectoria en 2 partes que van primero que todo desde la posición “a” hasta “b” y luego regresa de “b” hasta la posición “a”

[pic 6]

(2)

Ahora aplicación la definición del teorema que es fundamental en el cálculo para las integrales definidas.

[pic 7]

(3)

Ahora se reordena la expresión que quede en una sola integral, aplicamos factor común al signo negativo e invertimos el orden de los factores de la ecuación. (figura 5)

[pic 8]

(4)

Ahora observaremos la expresión resultante en la que se puede evidenciar que, al aplicar los criterios básicos para una función, está en presencia de la integral, la expresión derivada de “f” con respecto a “y”. Esta evaluada en los siguientes parámetros.

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