Elementos Finitos Mecánica De Materiales

Universidad de Los Andes

Núcleo Universitario Alberto Adriani

Cátedra: Mecánica de los Materiales I.

Elementos Finitos.

Nombre: Juan José Porras D.

C.I: 20.573.611

Introducción

Este trabajo presenta las características del programa a código abierto PEFiCA, utilizado como herramienta para la enseñanza del método de los elementos finitos en ingeniería civil y mecánica. PEFiCA tiene como objetivo principal motivar, estimular y facilitar el aprendizaje del método de los elementos finitos aplicado a problemas específicos de me-cánica de sólidos y de fluidos.

El MEF permite obtener una solución numérica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) —sobre el que están definidas ciertas ecuaciones diferencia-les en forma débil o integral que caracterizan el comportamiento físico del problema— dividiéndolo en un número elevado de subdominios no-intersectantes entre sí denominados «elementos finitos». El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados «nodos». Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de ad-yacencia se llama «malla».

El programa permite resolver la ecuación diferencial de campo bidimensional de Poisson que tiene aplicación a problemas de flujo ir rotacional, infiltración del agua en suelos permeables, transferencia de calor y distribución de esfuerzos cortantes en barras some-tidas a torsión.

Asimismo, el programa puede calcular el campo del esfuerzo y la deformación en un pro-blema mecánico elástico lineal estático en condición plana de esfuerzos y en condición plana de deformaciones. Este tipo de problemas tienen gran aplicación ingeniería estruc-tural, ingeniería mecánica y geotecnia. PEFiCA permite que el usuario observe, entienda e implemente cada una de las etapas de cálculo, tal que participe activamente en la ela-boración del procedimiento principal a partir de las subrutinas pre-existentes o mediante nuevas rutinas creadas por él mismo.

¿De qué se trata este método?

Se trata de un método general para la solución de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una técnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen técnicas generales de resolución. Para ello hace uso de la "discretización" o subdivisión de una región sobre la cual están definidas las ecuaciones en formas geométricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y rela-ciones gobernantes en estos elementos se expresan en función de los valores desconoci-dos en las "esquinas" de los elementos o nodos.

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20061025133217AAas86Z

Análisis de los elementos finitos

El análisis por elementos finitos (FEA por sus siglas en inglés para: Finite Element Analysis) es una técnica de simulación por computador usada en ingeniería. Usa una técnica numérica llamada Método de los elementos finitos (FEM).

Existen muchos paquetes de software, tanto libres como no libres. El desarrollo de ele-mentos finitos en estructuras, usualmente, se basa en análisis energéticos como el princi-pio de los trabajos virtuales

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_elementos_finitos

Análisis estádistico no lineal de una estructura 3D sujeta a deformaciones plásticas, realizado en Code-Aster en CAELinux

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_elementos_finitos

El estado y el comportamiento del fenómeno se caracterizan mediante ecuaciones en derivadas parciales, condiciones iniciales y condiciones de contorno. Éstas caracterizan los límites del problema y su evolución temporal.

La obtención de la solución analítica (exacta) de estas ecuaciones es, en general, complicada y en muchos casos imposible. Generalmente se debe a la geometría del problema. Esto nos obliga a resolver numéricamente el PVCI, obteniendo por tanto una solución aproximada.

La idea básica del método consiste en discretizar el dominio del problema en sub-regiones, en las cuales las ecuaciones en derivadas parciales son totalmente válidas, y resolverlas empleando una aproximación polinomial.

http://ciclolimite.com/2011/03/29/%C2%BFen-que-consiste-el-metodo-de-los-elementos-finitos-y-para-que-sirve/#respon

Metodología

Para dar solución a los diferentes tipos de problemas, las subrutinas del programa crean la matriz de funciones de forma, la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma, el vector de fuerzas y la matriz de rigidez de diferentes elementos finitos. La librería de elementos finitos incluye al elemento unidimensional lineal y cuadrá-tico, a los elementos triangular lineal y rectangular bilineal de campo, y a los elementos triangular lineal y rectangular bilineal de elasticidad. Otro grupo de subrutinas permite, calcular el vector solución deun sistema de ecuaciones simultáneas linealmente indepen-diente y los valores y vectores propios de un sistema de ecuaciones homogéneo, entre otras operaciones matriciales. También existen rutinas que ensamblan matrices y vectores de acuerdo con la numeración de los valores nodales o grados de libertad del problema (Reddy, 2005; Zienkiewicz et al., 2005).

http://www.educacioneningenieria.org/index.php/edi/article/view/242/152

Descripción matemática del método

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido me-diante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro eta-pas:

1. El problema debe reformularse en forma variacional.

2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para pro-blemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partición en sub-dominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos una com-binación lineal en dicho espacio vectorial.

3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un nú-mero de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecua-ciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha di-mensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.

4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una pro-yección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en elementos finitos ayuda a cons-truir un algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vértices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolución concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del álgebra lineal en espacios de dimensión finita.

En lo que sigue d es la dimensión del dominio, n el número de elementos finitos y N el número de nodos total.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos#Descripci.C3.B3n_matem.C3.A1tica_del_m.C3.A9todo

Aplicaciones del método

En estas aplicaciones, el objeto o sistema se representa por un modelo geométricamente similar que consta de múltiples regiones discretas simplificadas y conectadas — véase: Método de los elementos finitos. Ecuaciones de equilibro, junto con consideracio-nes físicas aplicables así como relaciones constitutivas, se aplican a cada elemento, y se construye un sistema de varias ecuaciones. El sistema de ecuaciones se resuelve para los valores desconocidos usando técnicas de álgebra lineal o esquemas no lineales, de-pendiendo del problema. Siendo un método aproximado, la precisión de los métodos FEA puede ser mejorada refinando la discretización en el modelo, usando más elementos y nodos.

Comúnmente se usa FEA en determinar los esfuerzos y desplazamientos en sistemas mecánicos. Es además usado de manera rutinaria en el análisis de muchos otros tipos de problemas, entre ellos Transferencia de calor, dinámica de fluidos, y electromagnetismo. Con FEA se pueden manejar sistemas complejos cuyas soluciones analíticas son difícil-mente encontradas.

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