Método Elementos Finitos

Tarea N°4

Mecánica de Sólidos Bidimensionales Mediante MEF

Dimensional Solid Mechanics using MEF

Benjamín Espinoza Pérez

Enviado 10 de septiembre de 2015

RESUMEN

En el siguiente informe se estudia y analiza el comportamiento mecánico de los sólidos bidimensionales utilizando el MEF y finaliza con un análisis real de la influencia de ciertas aleaciones realizadas en materiales para poder mejorar sus propiedades mecánicas, químicas, etc. Este trabajo se contrasta tanto la parte teórica y práctica, mediante la utilización del software ANSYS 14.5 con el cual se pueden realizar diversos ensayos para una gran cantidad de materiales y sus combinaciones.

ABSTRACT

The following report is studied and analyzed the mechanical behavior of two-dimensional solids using the MEF and ends with a real analysis of the influence of certain alloys made of materials to improve their mechanical, chemical, etc. This work both theoretical and practical part is tested, using ANSYS 14.5 software with which you can perform various tests for a wide range of materials and combinations thereof.

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones de equilibrio para un sólido deformable bidimensional están dadas por:

Donde  corresponden a los esfuerzos normales,  a los esfuerzos cortantes,  a las fuerzas de cuerpo y  es la densidad constante del cuerpo. Por otro lado, debido al equilibrio se cumple que .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

ANÁLISIS TEÓRICO

1. MEF en Mecánica de Sólidos Bidimensionales

Por la elasticidad lineal inherente al elemento de trabajo, las relaciones existentes entre desplazamientos y deformaciones son:

También se pueden obtener las relaciones existentes entre esfuerzos y deformaciones, considerando dos condiciones generales:

1. Esfuerzo Plano

Donde:

: Módulo de Elasticidad.[pic 14]

: Coeficiente de Poisson.[pic 15]

: Módulo de Rigidez. [pic 16]

1. Deformación Plana

Donde  se denomina constante de compresibilidad: [pic 21]

[pic 22]

Y  corresponde a la constante de Lamé:[pic 23]

[pic 24]

Reemplazando las ecuaciones (6), (7) y (8) en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene:

Reorganizando y expandiendo los términos de la ecuación (13), se obtiene:

Considerando que también se tiene la igualdad de derivadas cruzadas:

[pic 28]

Se puede llegar a la siguiente expresión, agrupando términos convenientemente:

Si se considera la siguiente expansión:

[pic 30]

Reemplazando en la ecuación (16), se obtiene:

De forma análoga con la ecuación (14) se obtiene:

Ahora podemos considerar el desplazamiento y las fuerzas internas de forma vectorial de la siguiente forma:

[pic 33]

[pic 34]

Y así sumando las ecuaciones (17) y (18) se obtiene:

La ecuación (19) presenta una forma similar a la EDP estudiada en clases, de la forma:

[pic 36]

Por ende reordenando los términos de la ecuación (19) se obtiene:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Podemos escribir la relación entre la deformación y el desplazamiento de forma matricial:

[pic 42]

Para el caso de un elemento triangular lineal, se puede escribir como:

[pic 43]

Donde la matriz B representa la transformación deformación-desplazamiento (3x6) y u es el vector de desplazamiento en ambas coordenadas del eje cartesiano en los nodos del elemento:

[pic 44]

[pic 45]

Como se muestra en [1], a través del método de Garlekin, cada componente de la matriz de rigidez para un elemento triangular está dada por:

[pic 46]

Donde:

 : Espesor del elemento.[pic 47]

: Área del elemento.[pic 48]

También se pueden obtener las componentes del vector de fuerzas internas dadas por:

Donde  y  corresponden a las coordenadas de las fuerzas internas en cada nodo del elemento. En este caso las fuerzas internas están dadas por la gravedad y la densidad del elemento, por lo que la ecuación (20) resultaría:[pic 50][pic 51]

Por ende, el sistema de ecuaciones final a resolver para obtener los desplazamientos nodales es de la forma:

[pic 53]

Donde:

: Matriz de rigidez.[pic 54]

: Vector de desplazamientos nodales.[pic 55]

: Fuerzas internas del elemento.[pic 56]

: Fuerzas externas aplicadas sobre el elemento[pic 57]

Ahora se puede escribir la relación esfuerzo y deformación de forma matricial:

[pic 58]

Donde la matriz D está dada por:

1. Esfuerzo Plano

[pic 59]

1. Deformación Plana

[pic 60]

De esta forma el cálculo de las tensiones nodales estaría dado por:

[pic 61]

RESULTADOS

1. Aplicación del MEF en Mecánica de Sólidos Bidimensionales

Modelando el problema según los requerimientos señalados en el enunciado del problema (4 elementos triangulares lineales), se obtendría un mallado como se observa en la Figura 1.

[pic 62]

Figura 1: Mallado de placa enunciado 2.

Donde el número del elemento se señala con números negros, los nodos globales en color rojo y finalmente los nodos locales en color azul.

Para el desarrollo de esta parte del informe se utilizan los comandos de Matlab señalados en el Apéndice A.

La matriz de conectividad, corresponde a:

[pic 63]

La matriz D es igual para todos los elementos y corresponde a:

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Y la matriz de transformación B, corresponde a:

[pic 67]

Para este caso particular, se tiene:

...