En este capítulo, sólo tendremos en cuenta la propagación de las ondas sonoras en una zona sin ninguna fuente acústica, en una homogénea fluido.

ntroducción [ editar ]

El sonido es una oscilación de presión transmitida a través de un gas, líquido o sólido en forma de un viaje de onda , y puede ser generado por cualquier variación de la presión localizada en un medio. Una manera fácil de entender cómo se propaga el sonido es considerar que el espacio se puede dividir en capas delgadas. La vibración (la compresión sucesiva y relajación) de estas capas, a una cierta velocidad, permite que el sonido para propagarse, produciendo por lo tanto una onda. La velocidad del sonido depende de la compresibilidad y la densidad del medio.

En este capítulo, sólo tendremos en cuenta la propagación de las ondas sonoras en una zona sin ninguna fuente acústica, en una homogénea fluido.

La ecuación de las ondas [ editar ]

Las ondas de sonido consisten en la propagación de una cantidad escalar, acústico sobre-presión. La propagación de las ondas de sonido en un medio estacionario (por ejemplo, todavía aire o agua) se rige por la ecuación siguiente (véase la ecuación de onda ):

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} p - {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ t parcial ^ {2}}} = 0} \ Nabla ^ {2} p - {\ frac {1} {{c_ {0} ^ {2}}}} {\ frac {{\ partial ^ {2} p}} {{\ t parcial ^ {2} }}} = 0

Esta ecuación se obtiene utilizando las ecuaciones de conservación (masa, momento y energía) y las ecuaciones termodinámicas de estado de un gas ideal (o de un líquido sólido o, idealmente, compresible), suponiendo que las variaciones de presión son pequeñas, y dejar de lado la viscosidad y la conducción térmica , lo que daría otros términos, lo que representa la atenuación del sonido.

En la ecuación de propagación de las ondas sonoras, {\ Displaystyle c_ {0}} c_ {0}es la velocidad de propagación de la onda de sonido (que no tiene nada que ver con la velocidad de vibración de las capas de aire). Esta velocidad de propagación tiene la siguiente expresión:

{\ Displaystyle c_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho _ {0} \ chi _ {s}}}}} c_ {0} = {\ frac {1} {{{\ sqrt {\ rho _ {0} \ chi _ {s}}}}}}

dónde {\ Displaystyle \ rho _ {0}} \ Rho _ {0} es la densidad y {\ Displaystyle \ chi _ {S}} \ Chi _ {S} es el coeficiente de compresibilidad del medio de propagación.

Ecuación de Helmholtz [ editar ]

Puesto que el campo de velocidad {\ Displaystyle {\ underline {v}}} \ Underline v para las ondas acústicas es irrotacional podemos definir un potencial acústica {\ Displaystyle \ Phi} \Fi por:

{\ Displaystyle {\ underline {v}} = {\ text {grad}} \ Phi} \ Underline {v = \ text {grad}} \ Phi

Usando la ecuación de propagación del párrafo anterior, es fácil obtener la nueva ecuación:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi - {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ t parcial ^ {2} }} = 0} \ Nabla ^ {2} \ Phi - {\ frac {1} {{c_ {0} ^ {2}}}} {\ frac {{\ partial ^ {2} \ Phi}} {{\ t parcial ^ { 2}}}} = 0

Aplicando la transformada de Fourier, obtenemos la ecuación de Helmholtz ampliamente utilizado:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ hat {\ phi}} + k ^ {2} {\ hat {\ phi}} = 0} \ Nabla ^ {2} {\ sombrero \ phi} + k ^ {2} {\ sombrero \ phi} = 0

dónde {\ Displaystyle k} k es el número de onda asociada con {\ Displaystyle \ Phi} \Fi . El uso de esta ecuación es a menudo la manera más fácil de resolver los problemas acústicos.

La intensidad acústica y decibelios [ editar ]

La intensidad acústica representa el flujo de energía acústica asociada con la propagación de la onda:

{\ Displaystyle {\ underline {i}} (t) = p {\ underline {v}}} \ Underline i (t) = p \ underline v

entonces podemos definir la intensidad media:

{\ Displaystyle {\ underline {I}} = <{\ underline {i}}>} \ Underline I = <\ underline i>

Sin embargo, la intensidad acústica no da una buena idea del nivel de sonido, ya que la sensibilidad de nuestros oídos es logarítmica. Por lo tanto definimos decibelios, ya sea usando acústica sobre-presión o intensidad media acústica:

{\ Displaystyle p ^ {dB} = 20 \ log \ left ({\ frac {p} {p _ {\ mathrm {ref}}}} \ right)} p ^ {{dB}} = 20 \ log \ left ({\ frac {p} {{p _ {{\ mathrm {ref}}}}}} \ right) ; {\ Displaystyle L_ {I} = 10 \ log \ left ({\ frac {I} {I _ {\ mathrm {ref}}}} \ right)} L_ {I} = 10 \ log \ left ({\ frac {I} {{{I _ {\ mathrm {ref}}}}}} \ right)

dónde {\ Displaystyle p _ {\ mathrm {ref}} = 2.10 ^ {- 5} Pa} p _ {{\ mathrm {ref}}} = 2,10 ^ {{- 5}} Pa para el aire, o {\ Displaystyle p _ {\ mathrm {ref}} = 10 ^ {- 6} Pa} p _ {{\ mathrm {ref}}} = 10 ^ {{- 6}} Pa por cualquier otro medio, y {\ Displaystyle I _ {\ mathrm {ref}} = 10 ^ {- 12}} I _ {{\ mathrm {ref}}} = 10 ^ {{- 12}} W / m².

La solución de la ecuación de onda [ editar ]

Las ondas planas [ editar ]

Si estudiamos la propagación de una onda de sonido, lejos de la fuente acústica, que puede ser considerado como una onda plana 1D. Si la dirección de propagación es a lo largo del eje x, la solución es:

{\ Displaystyle \ Phi (x, t) = f \ left (t - {\ frac {x} {c_ {0}}} \ right) + g \ left (t + {\ frac {x} {c_ {0} }}\derecho)} \ Phi (x, t) = f \ left (t - {\ frac {x} {{c_ {0}}}} \ right) + g \ left (t + {\ frac {x} {{c_ {0} }}}\derecho)

donde f y g puede ser cualquier función. f describe el movimiento de las olas hacia el aumento de x, mientras que g describe el movimiento hacia la disminución de x.

La ecuación de impulso proporciona una relación entre {\ Displaystyle p} pag y {\ Displaystyle {\ underline {v}}} \ Underline v lo que conduce a la expresión de la impedancia específica, definida como sigue:

{\ Displaystyle {\ frac {p} {v}} = Z = \ pm \ rho _ {0} c_ {0}} {\ Frac {p} {v}} = Z = \ pm \ rho _ {0} c_ {0}

Y aún en el caso de una onda plana, obtenemos la siguiente expresión para la intensidad acústica:

{\ Displaystyle {\ underline {i}} = \ pm {\ frac {p ^ {2}} {\ rho _ {0} c_ {0}}} {\ underline {e_ {x}}}} \ Underline i = \ pm {\ frac {{p ^ {2}}} {{\ rho _ {0} c_ {0}}}} \ underline {e_ {x}}

Ondas esféricas [ editar ]

Más en general, las ondas se propagan en cualquier dirección y son ondas esféricas. En estos casos, la solución para el potencial acústica {\ Displaystyle \ Phi} \Fi es:

{\ Displaystyle \ Phi (r, t) = {\ frac {1} {r}} f \ left (t - {\ frac {r} {c_ {0}}} \ right) + {\ frac {1} {r}} g \ left (t + {\ frac {r} {c_ {0}}} \ right)} \ Phi (r, t) = {\ frac {1} {r}} f \ left (t - {\ frac {r} {{c_ {0}}}} \ right) + {\ frac {1} { r}} g \ left (t + {\ frac {r} {{c_ {0}}}} \ right)

El hecho de que el potencial disminuye linealmente mientras que la distancia a las subidas de código es sólo una consecuencia de la conservación de la energía. Para las ondas esféricas, también podemos calcular fácilmente la impedancia específica, así como la intensidad acústica.

Las condiciones de contorno [ editar ]

En cuanto a las condiciones de contorno que se utilizan para la solución de la ecuación de onda, podemos distinguir dos situaciones. Si el medio no es de absorción, se establecen las condiciones de contorno usando las ecuaciones usuales para la mecánica. Sin embargo, en la situación de un material absorbente, es más sencillo de utilizar el concepto de impedancia acústica.

El material no absorbente [ editar ]

En ese caso, tenemos condiciones de contorno explícitas ya sea sobre tensiones y sobre velocidades en la interfaz. Estas condiciones dependen de si los medios de comunicación son sólidos, no viscosos o fluidos viscosos.

Material absorbente [ editar ]

Aquí, nosotros usamos la impedancia acústica como la condición de contorno. Esta impedancia, que a menudo se da por medio de mediciones experimentales depende del material, el fluido y la frecuencia de la onda sonora.

Acústica · Fundamentos de Acústica de la habitación →res teorías se utilizan para entender acústica de la sala:

La teoría modal

La teoría geométrica

La teoría de Sabine

La teoría modal [ editar ]

Esta teoría viene de la ecuación Helmoltz homogénea {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ hat {\ phi}} + k ^ {2} {\ hat {\ phi}} = 0} \ Nabla ^ {2} {\ sombrero \ phi} + k ^ {2} {\ sombrero \ phi} = 0. Teniendo en cuenta una geometría simple de un paralelepípedo (L1, L2, L3), la solución de este problema es con variables separadas:

{\ Displaystyle P (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z)} P (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z)

Por lo tanto cada función X, Y y Z tiene esta forma:

{\ Displaystyle X (x) = Ae ^ {-} + ikx Be ^ {}} ikx X (x) = Ae ^ {{- ikx}} + Sea ^ {{}} ikx

Con la condición de frontera {\ Displaystyle {\ frac {\ P parcial} {\ x parcial}} = 0} {\ Frac {{\ P parcial}} {{\ x parcial}}} = 0, para {\ Displaystyle x = 0} x = 0 y {\ Displaystyle x = L1} x = L1 (Idem en las otras direcciones), la expresión de la presión es:

{\ Displaystyle P \ left ({x, y, z} \ right) = C \ cos \ left ({\ frac {m \ pi x} {L1}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {n \ pi y} {L2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {p \ pi z} {L3}} \ right)} P \ left ({x, y, z} \ right) = C \ cos \ left ({{\ frac {{m \ pi x}} {{L1}}}} \ right) \ cos \ left ({{ \ frac {{n \ pi y}} {{L2}}}} \ right) \ cos \ left ({{\ frac {{p \ pi z}} {{L3}}}} \ right)

{\ Displaystyle

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