Equilibrio y elasticidad Condiciones de equilibrio

Unidad 11: Equilibrio y elasticidad

Condiciones de equilibrio

1ra Condición de equilibrio:

Un cuerpo que puede modelarse como partícula está en equilibrio siempre que la resultante de las fuerzas que actúan sobre él sea cero; No tiene aceleración. Solo incluye fuerzas externas. (se basa en la primera ley de Newton)

2da Condición de equilibrio:

Un cuerpo rígido en equilibrio no debe tener la tendencia a

comenzar a girar alrededor de ningún punto, así que la suma de los momento de torsión externos alrededor de cualquier puto debe ser cero. (se basa en la dinámica del movimiento rotacional)

→ Como el cuerpo rígido no está girando alrededor de un punto, tiene cero cantidad de movimiento angular (𝐿⃗⃗ = 0) alrededor de ese punto.

𝑑𝐿⃗⃗

([pic 1]

𝑑𝑡

→ Para que el cuerpo no empiece a girar, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular es cero

= 0).

Esto implica que la suma de todos los momentos de torsión debido a todas las fuerzas externas que actúan

sobre el cuerpo debe ser cero. (∑ 𝑇⃗⃗ = 0).

Un cuerpo rígido en reposo está en equilibrio ESTATICO.

Centro de gravedad

Es un punto en el cual se puede suponer que se concentra todo su peso si 𝑔⃗ tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo su centro de gravedad coincide con el centro de masa luego:

𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3 + ⋯

∑𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖

𝑥𝑐𝑚 =

𝑚   + 𝑚

=

+ 𝑚 + ⋯[pic 2]

[pic 3]

∑ 𝑚

1        2        3        𝑖        𝑖

𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3 + ⋯

∑𝑖 𝑚𝑖𝑦𝑖

𝑦𝑐𝑚 =

𝑚   + 𝑚

=

+ 𝑚 + ⋯[pic 4]

[pic 5]

∑ 𝑚

1        2        3        𝑖        𝑖

𝑚1𝑧1 + 𝑚2𝑧2 + 𝑚3𝑧3 + ⋯

∑𝑖 𝑚𝑖𝑧𝑖

𝑧𝑐𝑚 =

=

𝑚   + 𝑚   + 𝑚   + ⋯        ∑ 𝑚[pic 6][pic 7]

1        2        3        𝑖        𝑖

Además, 𝑥𝑐𝑚, 𝑦𝑐𝑚  y 𝑧𝑐𝑚  son las componentes del vector posición 𝑟⃗𝑐𝑚  del centro de masa;

[pic 8]

Demostración:

• Consideramos el momento de torsión que actúa sobre un cuerpo. La aceleración de la gravedad tiene la misma magnitud y dirección en todos los puntos del cuerpo.
• Cada partícula experimenta una fuerza gravitacional, y el peso total es la suma vectorial de las fuerzas.
• Una partícula tiene masa 𝑚𝑖  y peso 𝑤⃗⃗𝑖  = 𝑚𝑖. 𝑔⃗
• Si 𝑟⃗𝑖  es el vector posición de la partícula respecto a un origen antihorario 0, el vector de momento de torsión ⃗𝑇⃗⃗𝜄  del peso 𝑤⃗⃗𝑖  respecto a 0 es:

⃗𝑇⃗⃗𝜄  = 𝑟⃗𝑖. 𝑤⃗⃗𝑖

𝑇⃗⃗𝑖  = 𝑟⃗𝑖. 𝑚𝑖. 𝑔⃗

• El momento de torsión total debido a las fuerzas gravitacionales que actúan sobre todas las partículas es:

𝑇⃗⃗ = ∑ 𝑇⃗⃗𝑖  = 𝑟⃗1. 𝑚1. 𝑔⃗ + 𝑟⃗2. 𝑚2. 𝑔⃗ + 𝑟⃗3. 𝑚3. 𝑔⃗ + ⋯

𝑖

𝑇⃗⃗ =  (𝑟⃗1. 𝑚1  + 𝑟⃗2. 𝑚2  + 𝑟⃗3. 𝑚3  + ⋯ ). 𝑔⃗

[pic 9]

• Si multiplicamos y dividimos por la masa total del cuerpo:

Obtenemos:

𝑀 = ∑ 𝑚𝑖

𝑖

𝑇⃗⃗ = 𝑟 ⃗1. 𝑚1  + 𝑟⃗2. 𝑚2  + 𝑟⃗3. 𝑚3  + ⋯ . 𝑀𝑔⃗

𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

𝑇⃗⃗ = ∑𝑖 𝑟⃗𝑖. 𝑚𝑖 . 𝑀𝑔⃗[pic 10]

∑𝑖 𝑚𝑖

𝑇⃗⃗ = 𝑟⃗𝑐𝑚. 𝑀𝑔⃗

[pic 11]

Si 𝑔⃗ tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo, el centro de gravedad es idéntico al centro de masa.

Esfuerzo, tensión y módulos de elasticidad

Esfuerzo de tensión[pic 12]

Cantidad escalar, aplica en la sección transversal.

[pic 13]

Deformación por tensión

Estiramiento por unidad de longitud.

[pic 16]

Si las fuerzas son tan pequeñas que obedecen a la ley de Hooke, apareció el:

Módulo de Young:

Es la constante de proporcionalidad del esfuerzo de tensión y la

deformación de tensión.

[pic 17]

Esfuerzo y tensión de volumen

Esfuerzo de volumen:        Presión uniforme en todas las direcciones.

[pic 18]

Deformación de volumen:        Cambio de volumen por unidad de volumen.

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