Estimacion Puntual

1. Estimación puntual

Una estimación de un parámetro poblacional dado por un simple número es llamado una estimación puntual del parámetro. Una estimación de un parámetro poblacional dado por dos números, entre lo cuales el parámetro puede ser considerado a encontrarse, es llamada una estimación por intervalos del parámetro

EMIL HERNANDEZ ARROYO- MANUAL DE ESTADISTICA – EDITORIAL UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA – BOGOTA,2006-IMPREO EN COLOMBIA

1.1 Estimación puntual

cuando usamos el valor de una estadistica para estimar un parametro de poblacion, llamamos a esto estimacion puntual, y nos referimos al valor de la estadística como un estimador puntual del parámetro. Por ejemplo; si usamos el valor de x para estimar la media de una población, una proporción muestral observada para estimar el valor de O de una población binomial o de un valor S^2 para estimar una varianza de población en cada caso usamos una estimación puntual de parámetro en cuestión. Estas estimaciones se llaman estimadores puntuales por q en cada caso un numero único, o un punto único en el eje real, se usa para estimar el parámetro.

Puesto que los estimuladores son variables aleatorias, uno de los problemas clave de la estimulación puntual es estudiar las distribuciones muestrales. Por ejemplo cuand estudiamos la varianza de una población con base en una muestra aleatoria, difícilmente podemos esperar que el valor de S^2 que obtenemos será realmente igual a d^2 pero nos tranquilizaría, al menos, saber si podemos esperar que este cerca

ESTADISTICA MATEMATICA CON APLICACIONES – SEXTA EDICION- JOHN E. FREUND, IRWIN MILLER, MARYLEES MILER – IMPRESO EN MEXICO

2. Estimaciones de intervalo de la media y de proporción

Cualquier estadístico sea de media o de proporción pertenece a una distribución muestral definida esta última por sus parámetros. Si esta distribución muestral se ajusta, por ejemplo, a laley normal (como la de las medias o proporciones) todo valor es definible a partir de su estandarización o transformación en z

• Intervalo de la media

Recordar que la población a de surgir igualmente a ley normal.

Fijemos un valor alfa arbitrario del 5%. El valor de Z queda determinado por alfa. Dado que se a de definir un intervalo simétrico, el valor de alfa se distribuye simétricamente entre las dos colas del modelo y hablamos de:

De la expresión e fácil aislar el valor del estadístico y obtener un intervalo definido por los limites establecidos a partir de alfa/2

Esta expresión se denomina intervalo de Probabilidad y sirve de base para la estimación más útil. El intervalo de confianza.

• Intervalo de proporción

Recordar en este caso la condición para normalidad de la distribución

Fijemos un valor alfa arbitrario del 5%. El valor de Z queda determinado por alfa. Dado que se a de definir un intervalo simétrico, el valor de alfa se distribuye simétricamente entre las dos colas del modelo y hablamos de:

De la expresión e fácil aislar el valor del estadístico y obtener un intervalo definido por los limites establecidos a partir de alfa/2

Esta expresión se denomina intervalo de Probabilidad y sirve de base para la estimación más útil. El intervalo de confianza.

ESQUEMAS DE ESTADISTICA- PUBLICACION DE LA UNIVERSIDAD DE BARCELONA

3. Prueba de hipotessis de la media y de proporción

PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA, CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA

PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA, CON VARIANZA CONOCIDA

Análisis estadístico

Supóngase que la variable aleatoria X representa algún proceso o población de interés. Suponemos que la distribución de X es normal o que, si no lo es, se cumplen las condiciones del teorema central del limite. Además, consideramos que se desconoce la media μ pero que se conoce la varianza σ2. Estamos interesados en probar la hipótesis

Ho; μ= μ0

H1; μ ≠ μ0

Donde μlo es una constante especificada. Se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n, Xl, X2, .Xn. Cada observación de esta muestra tiene una media. μ desconocida y una varianza σ2 conocida. El procedimiento de prueba para Ho: μ = .μo utiliza la estadística de prueba

Si la hipótesis nula Ho: μ = μo, es cierta, entonces E ( Media)= .μlo, y resulta que la distribución de Zo es N(0,1). En consecuencia, si Ho: μ = μo es verdadera, la probabilidad de que un valor de la estadística de prueba Zo caiga entre -Zα/2 y Zα/2 es 1 - α, donde Zα/2 es el punto porcentual de la distribución normal estándar tal que P{Z ;>= Zα/2} = α/2 (esto es, Zα/2 es el punto del 100 α/2 por ciento de la distribución normal estándar). La situación se ilustra en la figura 11.5. 'Nótese que a es la probabilidad de que un valor de la estadística de prueba Zo caería en la región Zo > Zα/2 o Zo < - Zα/2 cuando Ho: μ = μl ó es verdadera. Es claro que

Sería inusual una muestra que produzca un valor de la estadística de prueba que cae en las colas de la distribución de Zo si Ho: μ1 = μo es verdadera; esto también es una indicación de que Ho es falsa. De tal modo, debemos rechazar Ho si

Zα> Zα/2

Z0 > -Zα/2

Y no rechazar Ho si

La ecuación anterior define la región de aceptación para Ho Y la ecuación anterior define la región. Crítica o región de rechazo. La probabilidad del error de tipo 1 para este procedimiento de prueba es α.

Tipos de prueba para la Media con Varianza Conocida

Cola Bilateral

Ho:μ = μ0 en oposición a H1:μ ≠ μ0

Regla de desición:

Rechazamos Ho si Zo >= Z α/2 o si Zo <= -Z α/2

Cola Derecha

Ho:μ <= μ0 en oposición a H1:μ >μ0

Regla de desición:

Rechazamos Ho si Zo >= Z α

Cola Izquierda

Ho:μ >= μ0 en oposición a H1:μ <μ0

Regla de desición:

Rechazamos Ho si Zo <= -Z α

USO DE VALORES P PARA LA TOMA DE DECISIONES

Al probar hipótesis en las que la estadística de prueba es discreta, la región crítica se puede elegir de forma arbitraria y determinar su tamaño. Si α es demasiado grande, se puede reducir al hacer un ajuste en el valor crítico. Puede ser necesario aumentar el tamaño de la muestra para compensar la disminución que ocurre de manera automática en la potencia de la prueba (probabilidad de rechazar Ho dado que una alternativa específica es verdadera).

Por generaciones enteras de análisis estadístico, se ha hecho costumbre elegir un nivel de significancia de 0.05 ó 0.01 y seleccionar la región crítica en consecuencia. Entonces, por supuesto, el rechazo o no rechazo estricto de Ho dependerá de esa región crítica. En la estadística aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximación del valor P. La aproximación se diseña para dar al usuario una alternativa a la simple conclusión de "rechazo" o "no rechazo".

La aproximación del valor P como ayuda en la toma de decisiones es bastante natural pues casi todos los paquetes de computadora que proporcionan el cálculo de prueba de hipótesis entregan valores de P junto con valores de la estadística de la prueba apropiada.

• Un valor P es el nivel (de significancia) más bajo en el que el valor observado de la estadística de prueba es significativo.

• El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula Ho.

• El valor P es el mínimo nivel de significancia en el cual Ho sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado de información. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel a particular resulta de comparar el valor P con α

1. Valor P <= α =rechazar Ho al nivel a.

2. Valor P > α =No rechazar

Tipos de prueba para la determinación del Valor P

Cola Bilateral

Ho:μ = μ0 en oposición a H1:μ ≠ μ0

Cola Derecha

Ho:μ <= μ0 en oposición a H1:μ >μ0

Cola Izquierda

Ho:μ >= μ0 en oposición a H1:μ <μ0

PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL, CON VARIANZA DESCONOCIDA

Al probarse hipótesis en relación con la media.μ de una población cuando σ2 se desconoce, siempre el tamaño de muestra sea grande(n>= por ejemplo). Estos procedimientos son aproximadamente válidos independientemente de que la población de base sea o no normal. Sin embargo, cuando el tamaño de muestra i es pequeño y se desconoce σ2, debemos hacer una suposición en tomo a la forma 1 de la distribución de base para obtener un procedimiento de prueba. Una suposición razonable en muchos casos es que la distribución de base es normal.

Muchas poblaciones encontradas en la práctica se aproximan de manera bastante adecuada con la distribución normal, por lo que esta suposición conducirá a un procedimiento de prueba de amplia aplicabilidad. En efecto, la moderada desviación respecto a la normalidad tendrá un pequeño efecto sobre la validez de la prueba. Cuando la suposición no es razonable, podemos especificar

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