La Estimacion Puntual ,Distribuciones e IC Tamaño de muestra.

 UAP Semana 1,2

Logro

Al finalizar las sesiones el alumno estará  en capacidad de hallar estimadores puntuales e interpretar  intervalos de confianza  de los parámetros: media, proporción, varianza y de  la desviación estándar y hallar el tamaño de muestra para la media poblacional y para la proporción poblacional.

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

1. Muestra aleatoria

Una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria X, es un conjunto de n variables aleatorias X1, X2,…, Xn independientes y con la misma distribución que la variable aleatoria X.

Así, dada una variable aleatoria X con E(X) =[pic 1]  y V(X) = [pic 2];

si X1, X2,…, Xn es una muestra aleatoria de X, entonces E(Xi) =[pic 3] , V(Xi) =[pic 4] 

 (i = 1, 2,…, n)

Estadístico

Un estadístico es cualquier función de las variables de una muestra aleatoria.

Un estadístico es una variable aleatoria.

El muestreo

El objetivo del muestreo es seleccionar una muestra que sea representativa de la población. Para esto, se debe determinar el método adecuado de selección, el tamaño correcto de la muestra y la técnica de estimación que se usará posteriormente

Parámetro y estadístico

Una característica especial de la población se denomina un parámetro y su contraparte calculada con los datos de la muestra se llama estadígrafo o estadístico.

                Características                Parámetro         Estadístico 

                Media                                µ                X

                Proporción                              P                  [pic 5]

                Desviación Estándar                    [pic 6]                 S                                 Varianza                                    [pic 7]                 S2

Media y varianza de las v.a. de la muestra 

Teorema Central del Límite

Si n variables aleatorias independientes X1, X2, X3,...Xn tienen la misma distribución de probabilidad con media [pic 8] y varianza [pic 9] , entonces para la variable aleatoria

                                S = X1 + X2 + X3 +...+ Xn se tiene:

Media [pic 10] 

Varianza [pic 11]

S tiende a seguir una distribución normal a medida que n crece hacia el infinito

[pic 12]

[pic 13]  representa los promedios de los valores de la muestra.A esta variable que  se le estudia más adelante se le llama media muestral

S tiende a seguir una distribución normal a medida que n crece. Se considera aproximadamente una distribución normal si n [pic 14] 30.

Del Teorema Central del Límite se deduce que, a medida que crece el tamaño de la muestra n, la distribución muestral de la media [pic 15]se acerca a la normal, independientemente de la distribución de la población de origen de los datos de la muestra.

2. Distribución de la media muestral

Si n→ +∞, entonces, por el TLC  la media muestral se aproxima a la normal

N (μ, σ2/n), esto es:

[pic 16]

[pic 17]

Si la población X es normal, entonces, la distribución de la media muestral es exactamente normal  para n≥30.

Si se define el estadístico[pic 18]entonces se cumple por el TLC

Media [pic 19]  se lee la media de la media muestral es igual a la media de la población

Varianza  [pic 20]     se lee la varianza de la media muestral es igual a la varianza poblacional entre el tamaño de la muestra

Conclusión: Si la población X sigue una distribución normal, entonces[pic 21]

Ejemplo 1         En un banco, el saldo en las cuentas de sus ahorristas tiene una media de 2500 soles y una desviación estándar de 400 soles.

Encontrar la probabilidad de que el saldo medio en una muestra de 50 cuentas esté entre 2350 y 2650 soles.

Solución

X = saldo en soles en una cuenta

μ = S/. 2500,   σ = S/. 400,   σ2 = (S/. 400)2

[pic 22]

[pic 23]

La probabilidad de que el saldo medio en la muestra de 50 cuentas esté entre S/.2350 y S/.2650 es aproximadamente del 99.2%

Ejemplo 2        Cuarenta estudiantes van a celebrar a un restaurante después del examen final de Estadística. El dinero que aporta cada estudiante, en estas ocasiones, se modela con una variable aleatoria continua con una media de 30 nuevos soles y una desviación estándar de 10 nuevos soles. Calcule la probabilidad de que la media de los aportes para pagar la cuenta esté entre 29 y 31 nuevos soles.

Solución

3. Distribución de la proporción muestral

Si X1. X2,…Xn es una m.a. de tamaño n escogida de una población Bernoulli B(1,p), el total o número de éxitos de la muestra es: [pic 24] y la proporción de éxitos en la muestra es [pic 25]

   Si n→ +∞, entonces, por el TLC  (n≥30) se tiene:

1. X ≅ N(µ = np, σ 2 = npq) o  Z=(X − np) /ES1 ≅ N(0,1)

[pic 26]

2. [pic 27]≅  N (µ= p, σ 2 = pq/n)

[pic 28]

[pic 29]

Se define el estadístico proporción muestral como  [pic 30]

[pic 31]  [pic 32]

La proporción muestral representa la proporción de éxitos observados en una muestra de tamaño n.

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