Estimación Puntual

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Sea la letra con la que se denota un parámetro poblacional. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño , es una función de los valores de la muestra: ; es decir, es un estimador puntual de .

A. MÉTODO PARA HALLAR ESTIMADORES PUNTUALES

Existen diversos procedimientos para encontrar estimadores puntuales de los parámetros poblacionales ; por ejemplo: el método de momentos, el de mínimos cuadrados y el de función de verosimilitud. Por el momento, revisemos sólo éste último:

A.1) MÉTODO DE FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD

Si son los datos de una muestra aleatoria que se obtuvo de cierta población cuya función de probabilidad es , la función de verosimilitud de la muestra es . Por ello, este método de estimación consiste en encontrar el valor del parámetro donde la función alcance su máximo; es decir, hay que calcular la derivada de , igualarla a cero y despejar . Veamos, algunos ejemplos de esto:

A.1.1) Estimador del parámetro

Sean los datos de una muestra aleatoria que se obtuvo de cierta población donde la variable tiene distribución poisson con parámetro [X~P( )].

¿Cuál es el mejor estimador de éste parámetro?

• Sabemos que la distribución de la variable es:

• Por ende, cada tiene tal distribución:

, , ,…,

• Siguiendo la expresión , la función de verosimilitud de esta variable es:

• Lo cual puede abreviarse a:

• Y ello reducirse en:

Porque

• Ahora hay que maximizar la función. Si ésta es una función cualquiera, los puntos críticos de son los mismos que los valores críticos del logaritmo natural :

Como:

Como: :

Como:

• Y obtener la derivada:

Como:

• Igualando a cero, el parámetro se convierte en estimador y resta despejarlo:

Y así sabemos que al tener una variable aleatoria con distribución poisson [X~P( )], el estimador de máxima verosimilitud del parámetro es la media muestral .

A.1.2) Estimador del parámetro

Sean los datos de una muestra aleatoria que se obtuvo de cierta población, donde la variable tiene distribución bernoulli con parámetro [X~Be( )]. ¿Cuál es el mejor estimador de éste parámetro?

• Sabemos que la distribución de la variable es:

• Por ende, cada tiene tal distribución:

, , ,…

• Siguiendo la expresión , la función de verosimilitud de esta variable es:

• Lo cual puede abreviarse a:

• Y ello reducirse en:

Porque

• Ahora hay que maximizar la función. Si ésta es una función cualquiera, los puntos críticos de son los mismos que los valores críticos del logaritmo natural :

Como:

Como:

• Y obtener la derivada:

Y se multiplica por menos 1, por ende

• Igualando a cero, el parámetro se convierte en estimador y resta despejarlo:

Y así también descubrimos que al tener una variable aleatoria con distribución bernoulli [X~Be( )], el estimador de máxima verosimilitud del parámetro es la

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