Estimación de parámetros por Mínimos Cuadrados

Tema

Estimación de parámetros por Mínimos Cuadrados

SubTema

Estimación de parámetros en una regresión lineal por mínimos cuadrados

Objetivo

El alumno planteaá  y obtendrá  los parámetros en una regresión lineal por mÌnimos cuadrados.

Liga a la Presentación en Power Point

Mínimos Cuadrados

Ejemplo(s) Adicional (es) Resuelto (s)

Método de Regresión Lineal por Mínimos Cuadrados

El año pasado, cinco alumnos elegidos aleatoriamente resolvieron un examen de aptitud matemática antes de iniciar su curso de estadística. El Departamento de Estadísticas desea contestar tres preguntas:

• ¿Qué ecuación de regresión lineal predice mejor el desempeño de los alumnos en el curso de estadística, tomando como base los resultados del examen de aptitud matemática?
• Si un estudiante obtuvo una nota de 80 en la prueba de aptitud, qué nota se debe esperar en el curso de estadística?
• ¿Qué tan bien se ajusta la ecuación de regresión a los datos?

En la tabla que se muestra a continuación, la columna xi muestra las notas obtenidas por los cinco alumnos en el examen de aptitud matemática. Similarmente, la columna yi muestra notas estadísticas. El resto de las columnas muestran cálculos intermedios utilizados para obtener la ecuación de regresión lineal.

La ecuación de regresión es una ecuación lineal de la forma: y = b0 + b1x. Para realizar un análisis de regresión, necesitamos encontrar los valores de b0 y b1. Lós cálculos son los siguientes:

b1 = Σ [ (xi - x)(yi - y) ] / Σ [ (xi - x)2]   ;  b1 = 470/730 = 0.644

b0 = y - b1 * x   ;   b0 = 77 - (0.644)(78) = 26.768

Por lo tanto, la ecuación de regresión lineal es y = 26.768 + 0.644 x.

Una vez obtenida, la ecuación de regresión lineal es muy fácil de utilizar. Utilizamos el valor para la variable independiente deseado (x), y lo evaluamos para obtener la estimación de la variable dependiente (y).

En nuestro problema, la variable independiente es la nota de un alumno obtenida en el examen de aptitud matemática. La variable dependiente es la nota esperada en el curso de estadística para ese mismo alumno. Si un alumno obtuvo una nota de 80 en el examen de aptitud matemática, el valor esperado en el curso de estadística está dado por:

y = 26.768 + 0.644 x = 26.768 + 0.644*80 = 78.288

Observación: Cuando utilices una ecuación de regresión, no utlices valores de variable independiente fuera del rango utilizado para obtener la ecuación. Cuando se desea realizar ese tipo de evaluación, es necesario utilizar métodos de extrapolación, y para eso este método obtiene estimaciones inprecisas.

En este problema, los resultados en la prueba de aptitud matemática utilizados para obtener la ecuación de regresión están en el rango de 60 a 95. Por lo tanto, solo podemos utilizar valores en ese rango para determinar estimados de notas en el curso de estadística.

Cuando utilizamos una ecuación de regresión, debemos verificar si la ecuación se ajusta a los datos. Una manera de determinar este ajuste es calculando el coeficiente de determinación, utilizando la ecuación:

[pic 1]

Donde N es la cantidad de datos empleados para obtener el modelo. Los cálculos para nuestro problema son los siguientes:

σx = sqrt (730/5) = sqrt (146) = 12.083

σy = sqrt (630/5 ) = sqrt (126) = 11.225

R2 = [(1/5)*470 /(12.083*11.225)]2 = (94/135.632)2 = (0.693)2 = 0.48

Un coeficiente de determinación igual a 0.48, indica que aproximadamente el 48% de la variación en las notas en el curso de estadística (variable dependiente) puede ser expresado por la relación con la prueba de aptitud matemática (la variable independiente). Lo anterior puede considerarse como un buen ajuste a los datos, en el sentido que puede ser de ayuda significativa para el maestro para predecir el desempeño de sus estudiantes en la clase de estadística.

Por último, veamos gráficamente los valores empleados para realizar la estimación lineal, y la recta proporcionada por la misma:

[pic 2]

Tarea Sugerida

Problemas 17.4, 17.5 y 17.6 del libro de texto página 500.

Ligas Sugeridas

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_regression

Problemas de Opción Múltiple

1. Un investigador utiliza una ecuación de regresión para estimar el cobro de consumo eléctrico para el servicio doméstico, basándose en los metros cuadrados de construcción en las casas. La correlación entre el cobro estimado y el tamaño de la casa es de 0.70. ¿Cuál es la correcta interpretación de este resultado?

1.  El 70% de la variación en el cobro del consumo eléctrico puede ser explicado mediante el tamaño de la casa.
2. El 49% de la variación en el cobro del consumo eléctrico puede ser explicado mediante el tamaño de la casa.
3. Por cada metro cuadrado agregado al tamaño de la casa, el cobro de consumo eléctrico se incrementa en 70 centavos.
4. Por cada metro cuadrado agregado al tamaño de la casa, el cobro de consumo eléctrico se incremente en 49 centavos.
5. Ninguna de las anteriores.

Solución: La respuesta correcta es (b). El coeficiente de determinación mide la proporción de variación en la variable dependiente que puede ser estimado por la variable independiente. El coeficiente de determinación es el cuadrado de la correlación, en este caso (0.7)2  = 0.49. Por lo tanto, el 49% de la variación en la cuenta de consumo eléctrico puede ser explicado por el tamaño de la casa.

1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es válida con respecto a la pendiente de la línea de regresión lineal por mínimos cuadrados?

1. Tiene el mismo signo que la correlación.
2. Es adimensional.
3. El cuadrado de la pendiente es la fracción de variación en y explicada por x.
4. Es el valor de y cuando x=0.
5. Ninguna de las anteriores.

1. Si se cambian las unidades de medición de la variable dependiente (y), el parámetro que no se afecta es

1. el parámetro estimado de intercepción.
2. el parámero estimado de la pendiente.
3. la suma total de cuadrados en la regresión.
4. el coeficiente de determinación (R2).
5. los errores estandarizados estimados.