Estimacion de parametros

UNIDAD II

ESTIMACION DE PARAMETROS

Cualquier inferencia extraía de la población se basa en estadísticos muéstrales. La elección de los estadísticos adecuados dependerá de cuál sea el parámetro poblacional de interés. El valor de ese parámetro será desconocido y uno de los objetivos del muestreo es estimar su valor.

Estimación

Cuando no se puede medir la población entera de interés o no es viable, existen dos grandes razones o propósitos para examinar la evidencia muestral. La primera, se conoce como estimación, donde los resultados de la muestra se utilizan para examinar características desconocidas de la población. Desde el punto de vista de vista de la estadística este es el término que comúnmente se utiliza para hacer estimaciones; pero en el campo de los negocios, este término se le llama Pronóstico, por cuanto los datos que se usan provienen de colecciones de datos u observaciones históricas, y el valor para el cual se requiere la estimación o pronóstico se encuentra en el futuro desconocido. La segunda, se trata del contraste de hipótesis, que se desarrollará más adelante.

Estimador y estimación

Existe una diferencia entre el término Estimador y Estimación. Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria que depende de la información de la muestra, cuyo valor proporciona aproximaciones a este parámetro desconocido. Mientras, que un valor especifico de esa variable aleatoria se llama estimación.

Propiedades de un buen estimador

Es importante señalar que no existe un mecanismo único para determinar cuál es el mejor estimados puntual en todas las circunstancias. Pero existen varios criterios para evaluar los estimadores. Se presentan tres propiedades para evaluar los estimadores: ausencia de sesgo, consistencia y eficiencia.

1. Estimador Insesgado

Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de un parámetro poblacional si su valor esperado es igual a ese parámetro; es decir, si

[pic 1]

Entonces  es un estimador insesgado de .[pic 2][pic 3]

La media muestral, la varianza muestral y la proporción muestral son estimadores insesgados de sus correspondientes parámetros poblaciones:

1. La media muestral es un estimador insesgado de la  .[pic 4][pic 5]
2. La varianza muestral es un estimador insesgado de la .[pic 6]
3. La proporción es un estimador insesgado de la [pic 7]

Un estimador que no es insesgado es sesgado. El grado del sesgo es la diferencia entre la media del estimador y el verdadero parámetro.

1. Estimador consistente

Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de un parámetro poblacional  si la diferencia entre el valor esperado del estimador disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Es lo mismo que decir que el sesgo disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra.[pic 8]

No todos los estimadores insesgados son consistentes, y no todos los estimadores consistentes son insesgados. Si la varianza de la muestra se calcula como sigue

[pic 9]

Entonces será un estimador insesgado de la varianza poblacional. Sin embargo, es consistente, debido a que el medida que aumenta el tamaño de la muestra, tiende al estimador insesgado

[pic 10]

1. Estimador más eficiente y eficiencia relativa

Si hay varios estimadores insesgados de un parámetro, el estimador insesgado que tiene la menor varianza es el estimador más eficiente o el estimador insesgado de varianza mínima. Sean  dos estimadores insesgados de , basados en el mismo número de observaciones muéstrale. En este caso.[pic 11][pic 12]

1. Se dice que  es más eficiente que  , si [pic 13][pic 14][pic 15]
2. La eficiencia relativa de  con respecto a   es el cociente entre sus varianzas, es decir,[pic 16][pic 17]

[pic 18]

Tipos de Estimación

Dicha estimación se puede hacer a través de la estimación puntual y la estimación por intervalos.

a) Estimación puntual

Una estimación puntual de un parámetro de población (pronóstico) es un valor único que se calcula a partir de los datos de la muestra y que estima el valor desconocido de la población. Para estimar un parámetro θ de una población se toma una muestra representativa de la misma y se calcula el estadístico , el valor del estadístico se conoce como la estimación puntual del parámetro θ. Una estimación puntual es la “mejor conjetura” de un parámetro poblacional calculado a partir de una muestra. En este sentido, se puede decir que la “mejor conjetura” del valor de la  está dada por el valor de la . [pic 19][pic 20][pic 21]

La siguiente tabla muestra algunos parámetros poblacionales y los correspondientes estadísticos que proporcionan estimaciones puntuales de ellos.

b) Estimación por intervalos

 Una estimación por intervalos, es aquella donde probablemente se encuentre el valor del parámetro de la población de interés. En la sección anterior se habló sobre la estimación puntual, una de sus desventajas es el hecho de no saber que tan próxima está del parámetro, es decir, cuando se obtiene una estimación, a partir de una muestra aleatoria de tamaño n, se desconoce que tan cerca (por defecto o exceso) está del parámetro a estimar θ. Por eso se utiliza frecuentemente otro tipo de estimación, la estimación por intervalos, la cual nos permite de acuerdo a un nivel de confianza especificado obtener una información más precisa sobre el parámetro a estimar.
Un intervalo de confianza se determina al alrededor de la estimación puntual de la siguiente manera:[pic 30]

Donde el coeficiente de fiabilidad o confiabilidad, frecuentemente corresponde a un punto porcentual de la distribución normal o un punto porcentual  de la distribución t.  Este punto

porcentual, se refiere a la probabilidad de que el intervalo propuesta contenga el valor del parámetro de la población de interés, el cual se conoce como Nivel de Confianza . Un intervalo de confianza es un intervalo obtenido mediante el procedimiento estadístico que satisface los requerimientos de probabilidad establecidos.[pic 32]

Intervalo de confianza y nivel de confianza

Sea θ un parámetro desconocido. Supongamos que, basándose en la información muestral, se hallan variables aleatorias A y B tales que   donde  es cualquier número comprendido entre 0 y 1. Si los valores específicos de A y B son a y b, entonces el intervalo de a a b se llama intervalo de confianza de θ al . La cantidad  se llama nivel de confianza.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Intervalos de Confianza para la Media con el Uso de la Distribución Normal.

En la unidad anterior tratamos la determinación de la probabilidad de que la media muestral tomara diversos valores cuando se conoce la media y la desviación estándar poblacional. Lo cual implicó un razonamiento deductivo respecto del resultado de la muestra, basado en parámetros poblacionales conocidos.

Ahora bien, para aplicar la herramienta de estimación de parámetros, a partir del uso de los intervalos de confianza, aplicaremos el razonamiento inductivo, a través del uso de datos muéstrales, para hacer aproximaciones sobre el valor de la media poblacional.

Intervalo de confianza de la media de una población que sigue una distribución: de varianza poblacional conocida

Consideramos una muestra aleatoria de n observaciones extraídas de una población que sigue una distribución normal de media  y varianza . Si la muestra es , entonces el intervalo de confianza al  de la media poblacional, cuando la varianza es conocida, viene dado por:                [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

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