Evaluación interna física - Péndulo

EVALUACIÓN INTERNA FÍSICA

¿Cómo varía el periodo de oscilación de un péndulo respecto a la variación de la longitud de la cuerda que lo sujeta?

1. Introducción

Este experimento va a consistir en el estudio de cómo la variación de la longitud de la cuerda que forma un péndulo influye en el periodo de oscilación de este. A partir de este experimento vamos a deducir la gravedad terrestre. Este estudio se basa en el campo de la física cinemática que estudia el Movimiento Armónico Simple (MAS) de los péndulos.

Para llevar a cabo este experimento se va hacer uso de la fórmula del periodo de un péndulo simple descubierta por Galileo Galilei la cual demuestra que dos péndulos con la misma longitud en sus cuerdas y distinto peso tienen el mismo periodo y deja ver que valores como el peso y el desplazamiento máximo es independiente al periodo.

Vamos a hacer este experimento basado en este campo ya que nuestro profesor Gonzalo Vicente nos lo ha propuesto ya que se relaciona a los temas que estamos trabajando actualmente y además nos sirve para practicar para nuestra futura evaluación interna de física que tenemos que entregar al IB.

2. Marco teórico

Un péndulo ideal consiste en una masa suspendida ( m ) en el aire sujeta por un hilo de masa despreciable, este hilo está atado a un punto fijo y tiene una determinada longitud ( l ). Cuando el péndulo oscila, la masa es sometida a la fuerza de la gravedad ( g )

Para este experimento debemos comprender que es un péndulo y cómo afecta la variación de la longitud de la cuerda sobre la que pende la masa al periodo. Para el cálculo del periodo se hace uso la fórmula del periodo de un péndulo simple. Esta fórmula consiste en:

Ecuación 1

Donde T es el periodo de oscilación, l la longitud de la cuerda y g la gravedad. Para llegar a esta fórmula debemos ver primero las diferentes fuerzas que afectan a la masa del péndulo.

Figura 1. Representación de un péndulo cualquiera con las respectivas fuerzas que le afectan. Herramienta: Paint

Cuando la masa ( m ) está en un extremo de la oscilación completa, las fuerzas que la afectan se dividen en 2 componentes, estas al ser combinadas dan resultado a la componente que realmente da lugar al movimiento de oscilación de la masa:

Ecuación 2

Donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo, m su masa, g la gravedad y θ el ángulo.

Esta fórmula está basada en la Segunda Ley de Newton, la cual dice que el producto de la masa de un cuerpo por la aceleración de este es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo. Además de eso en la ecuación se multiplica por el seno del ángulo ya que al ser la componente resultante de dos componentes que forman un triángulo rectángulo se deben usar las fórmulas trigonométricas para hallar la componente que nos falta.

Seguido de esto vamos a hacer uso de la Ley de Hooke la cual sirve normalmente para calcular la fuerza ejercida sobre un muelle, pero en este caso al tener una constante la cual es la oscilación podemos hacer uso de ella para el péndulo. Esta consiste en:

Ecuación 3

Donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo, k la constante de oscilación y x la variación de la distancia entre el punto en el que el péndulo está en el centro y el punto en el que está en un extremo (distancia x en el dibujo).

Igualando ahora las fuerzas de la Ecuación 2 y de la Ecuación 3 que habíamos planteado previamente basándonos en la Segunda Ley de Newton y en la Ley de Hooke podemos obtener esta fórmula:

Ecuación 4

Para seguir desarrollando esta fórmula primero debemos tener en cuenta este triángulo:

Figura 2. Triángulo rectángulo formado por la longitud de la cuerda, la distancia del centro de masas a la bola cuando se encuentra en un extremo de la oscilación y parte de la longitud de la cuerda cuando esta se encuentra en el centro de masas. Herramienta: Paint

A partir de este triángulo rectángulo podemos obtener esta igualdad:

Ecuación 5

Despejando ahora la x obtenemos una ecuación que podemos sustituir en la anterior ecuación:

Ecuación 5’

Sustituyendo esto en la Ecuación 4 nos queda la siguiente igualdad:

Ecuación 6

Donde los sen θ se cancelan, dando lugar esta ecuación:

Ecuación 6’

La cual puede ser despejada de tal manera que obtenemos la siguiente igualdad:

Ecuación 7’

Retomando la ecuación de la Ley de Hooke, la cual puede ser desarrollada así:

Ecuación 3’

Podemos sustituir la aceleración ya que el péndulo consiste en un movimiento armónico simple (M.A.S.) y por tanto se pueden aplicar las fórmulas de M.C.U.:

Ecuación 8

Donde las x se cancelan y la m se despeja, quedando:

Ecuación 8’

Sustituyendo ahora w:

( Ecuación 9

E invirtiendo la ecuación, obtenemos:

( Ecuación 10

Finalmente si recuperamos la Ecuación 7’ y la sustituimos en la Ecuación 10 podemos obtener la Ecuación 1 despejando. Primero sustituyendo:

(

Y despejando, obtenemos la Ecuación del Periodo de Oscilación de un Péndulo:

Ecuación 1

Esta ecuación tiene como variable dependiente el periodo ( T ) de oscilación del péndulo, como independiente la longitud ( l ) de la cuerda que sujeta la masa, esta la vamos a ir variando para nuestro experimento y finalmente las controladas que en este caso es solo la gravedad ( g ).

Una vez obtenida esta ecuación damos valores y graficamos la Ecuación 1 en nuestra hoja de cálculo de Excel donde obtenemos la Gráfica 1.

Gráfica 1. Longitud de la cuerda que sujeta la masa sobre el periodo de oscilación del péndulo. Gráfica creada usando valores inventados. Herramienta: Excel.

En ella he dado valores de 0 a 1m con 0,1m de separación entre cada valor. La idea de esta gráfica es ayudar a visualizar los resultados que hemos obtenido y cómo se comporta su gráfica. Más adelante mostraré la gráfica de valores obtenidos. En este caso nos interesa obtener una recta, para ello debemos elevar el periodo al cuadrado y por lo tanto obtendremos otra gráfica con una recta.

Gráfica 2. Longitud de la cuerda que sujeta la masa sobre el periodo de oscilación del péndulo elevado al cuadrado. Gráfica creada usando valores inventados en la Ecuación 1. Herramienta: Excel.

Para esta he usado los valores que hemos supuesto en la Gráfica 1, lo que se ha cambiado en esta es el periodo, ya que está elevado al cuadrado, de esta manera obtenemos la recta de la Gráfica 2, que de la misma forma que la anterior, nos sirve para visualizar y entender mejor la gráfica que obtendremos más adelante.

3. Método experimental

3.1 Materiales

Para llevar a cabo esta toma de datos vamos a utilizar los siguientes materiales:

* Bola metálica con un gancho unido a ella para poder atar la cuerda.

* Cuerda fina de 1,5 m de largo aproximadamente.

* Brazo metálico para atar el otro extremo de la cuerda unida a la bola metálica.

* Photogate (0,00000001 s)

* Datalogger

* Celo

* Metro (0,0005 m)

3.2 Variables

VARIABLES

DESCRIPCIÓN

JUSTIFICACIÓN

INDEPENDIENTES

Longitud de la cuerda del péndulo ( l )

Esta variable la consideraremos independiente, ya que afectará directamente a la variable dependiente en la Ecuación 1. Esta variable la iremos cambiando según los datos que queramos obtener.

DEPENDIENTES

Periodo ( T )

Esta variable la consideramos dependiente, esto es porque su valor depende de la longitud de la cuerda en la Ecuación 1.

CONTROLADAS

Intensidad del campo gravitatorio ( g )

Esta variable la consideramos controlada ya que la intensidad de campo gravitatorio de la Tierra es

constante y no varía en un punto. Esta equivale a 9,81 ms-2 en la superficie terrestre.

Tabla 1. Variables de la Ecuación 1. Elaboración propia

3.3 Montaje y procedimiento

Para el montaje lo primero que hicimos fue buscar una base plana sobre la que apoyar el brazo al que ataríamos la cuerda, para ello elegimos una

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