Expresiones Algebraicas

Expresiones algebraicas

Las expresiones puramente algebraicas, por ejemplo los polinomios, se caracterizan simplemente por el uso de constantes, variables, operadores y funciones, signos específicos como por ejemplo la igualdad «=» y signos de puntuación, pero no signos lógicos. En principio cualquier expresión algebraica es lo que en un lenguaje formal con igualdad se denomina ecuación. Otras expresiones algebraicas comunes son:

• monomio, binomio, trinomio

• serie matemática

• identidad

• inecuación

Ejemplo:

Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.

Si suponemos que mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:

• Perímetro

• Área

Monomio

es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera + ó - seria binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Ejemplos:

Son monomios, pero:

No son monomios, por que los exponentes no son naturales.

Binomio

consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

Puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".

Trinomio

es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más.

Ejemplos

1. con , , variables;

2. con , , variables;

3. con variable, las constantes son enteros positivos y , constantes arbitrarias.

Serie

es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Identidad

es la constatación de que dos objetos que matemáticamente se escriben diferentes, son de hecho el mismo objeto.1 En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

Ejemplos

En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

Relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta identidad no relaciona variables sino únicamente constantes matemáticas.

La Identidad de Euler es un caso particular de otra identidad más general dada por la fórmula de Euler para ángulos distintos de pi.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

Es una identidad, cierta para cualquier número real o complejo .

Inecuación

es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional:

• Ejemplo de inecuación condicional:

Polinomio

es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.

Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x

Q(x)= 2x3

P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x

-4x4 2x3-x2+3x-4

0-2x3

+2x3

0+6x2

-6x2

0-8x

+8x

0-4

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal que .

Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables

Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:

(2)

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Grado de un polinomio

Artículo principal: Grado (polinomio)

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.

P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero.

Operaciones con polinomios

Artículo principal: Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios: y , entonces el producto es:

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :

(*)

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.

Nota:

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