FUERZA GRAVITATORIA Y su comportamiento matemático

FUERZA GRAVITATORIA

Y su comportamiento matemático

Desarrollo

La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra en un cuerpo con masa m a una distancia r de su centro está dada por:

[pic 1]

Con:

• G: Constante gravitacional universal; ^[1]  .[pic 2]
• M: Masa de la Tierra; .[pic 3]
• R: Radio de la Tierra; .[pic 4]
• m: Masa del cuerpo afectado.
• r: Distancia del cuerpo afectado al centro de la Tierra.
• Se considera que si , entonces el cuerpo afectado esta al interior de la Tierra. Mientras que si , se considera que el cuerpo esta al exterior de la Tierra.[pic 5][pic 6]
• Se considera la Tierra como una esfera perfecta, por lo tanto, R es constante.

Tomando en cuenta lo anterior se utilizó la herramienta Wolfram Alpha ^[2], se hicieron ambos gráficos y se unieron donde r = R, que es alrededor de a los 6.400 km en la tierra, o 6.400.000 metros en medida internacional. A continuación, el gráfico:

[pic 7]

Gráfico n°1: Representación de la función de la fuerza gravitatoria

En la anterior gráfica se puede apreciar como la fuerza aumenta hasta llegar al punto donde la distancia del cuerpo afectado es igual al radio de la Tierra, y posteriormente baja, tendiendo a 0 N, mientras mas se aleja al infinito.

Para analizar el comportamiento de la fuerza gravitacional para un cuerpo que esta una distancia que tiende al infinito desde el centro de gravedad (centro de la Tierra en este caso), se debe tener en cuenta la siguiente formulación:

[pic 8]

Que con los parámetros antes contados se tiene:

[pic 9]

Con el calculo del limite se consolida lo visto en el gráfico, la fuerza gravitatoria tiende 0 N si es que la distancia desde el centro de la Tierra al cuerpo tiende al infinito. Por el lado contrario, para el caso de un cuerpo que tiende a acercarse al máximo al centro de la Tierra se tiene:

[pic 10]

Que con los parámetros mostrados se tiene:

[pic 11]

Al igual que en el caso anterior, se tiene que la fuerza gravitatoria tiende a 0 N, esta vez para el caso de la cercanía máxima al centro de la tierra. Al igual que antes, se puede ver en el gráfico n°1.

Para un caso específico, como mi cuerpo, que tiene una masa de 71kg, se tiene que la fuerza gravitatoria que se efectúa sobre el está dada por:

[pic 12]

Esto quiere decir que, sobre mi cuerpo, se ejerce constantemente una fuerza de 680.988 N que, si no fueran por fuerza normal que ejerce el suelo sobre el mismo cuerpo, me acercaría al centro de la tierra.

Por el lado de la continuidad se tiene que:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Como los limites por ambos lados no son iguales, se puede decir que la función de la fuerza gravitatoria no es continua.

Para determinar los puntos donde g(r) tiende a 0 N hay que examinar ambos casos, al interior de la Tierra (r<R) y al exterior de esta. Para el interior de la Tierra, analizando la función que modela la fuerza, se puede ver que el radio o distancia entre el centro y el cuerpo (r) (variable independiente de la función) esta por la parte del numerador de la función, por lo tanto, si r tiende a 0, la función g(r) también lo hará. Como se mostró anteriormente:

[pic 16]

Por lo tanto, el punto donde g(r) tiende a 0 N es lo mas cercano al núcleo de la Tierra. En el caso de un punto al exterior se tiene el caso inverso, r esta en el denominador de la función, por lo que mientras mayor sea, mas cercano a 0 será el valor de la función. Como se vio anteriormente:

[pic 17]

Por lo tanto, un punto que hace que g(r) tienda 0, ubicado al exterior de la tierra, sería muy lejano al centro de esta (una distancia que tienda al infinito).

[1]

[2]

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