FUNCIONES ALGEBRAICAS

FUNCIONES ALGEBRAICAPÍTULO 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

1.- Definición de función.

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Posteriormente veremos que los números que son aceptados por la máquina compondrán el dominio de definición de la función y el conjunto de elementos de salida compondrán el recorrido de la función.

Ejemplos

1.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es .

Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores:

l

A

1

1

2

4

10

100

1/2

1/4

0,5

0,25

En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa.

Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).

2.- Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursos anteriores representa una función real de variable real.

Definición

Definimos función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

De una manera más rigurosa:

Definición

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Ejemplos

Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:

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2.- Dominio de definición de una función.

Definición

El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota

El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

Ejemplos

A.- En el ejemplo estudiado que relacionaba el área de un cuadrado con su lado viste que el dominio lo formaban los números reales positivos.

La función que representa este problema es f(x)=x2 como ya vimos; de todos modos observa que en principio y atendiendo al aspecto analítico de la función no habría inconveniente en calcular la imagen de un número real negativo; por ejemplo, f(-8)=(-8)2=64.

Luego parece que el dominio podría ser todo R. En este ejemplo, el dominio viene determinado pues, por la propia naturaleza del problema que no admite lados de cuadrados negativos.

B.- Con la sucesión de números reales (an)= (-n2+18)

(es una función: f(n)=(-n2+18) pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular la imagen de cualquier número real.

No obstante, la propia definición de sucesión nos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás que tener en cuenta tres aspectos fundamentales:

1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.

2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.

3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero.

Ejemplos

Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

1.- f(x)=1/2x2

En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R

2.-

Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:

3.-

Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son:

x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1: D(f)=R\{1}

4.-

Tengo que exigir de nuevo:

Ejercicios

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

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3.- Representación de funciones

Definición

La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y=f(x)

Ejemplos

1.- Hallar los puntos de la curva y=x2-5x+6 que pertenecen al eje de abscisas o al eje de ordenadas.

2.- Representar la gráfica de la función f de R en R dada por

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4.- Operaciones con funciones

Suma de funciones.

Definición

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

y1 = f1(x) y y2 = f2(x).

Se llama función suma de ambas, a la función:

ys = y1+y2 = f1(x)+f2(x).

Análogamente podemos definir la función diferencia como

yd = y1-y2 = f1(x)-f2(x)

Propiedad

El dominio de definición de la función suma, y también el de la función diferencia será la intersección de los dominios de ambas funciones.

Ejemplos

Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:

1.- f1(x)=x2+1 f2(x)=-2x2+4

ys=y1+y2=x2+1-2x2+4=-x2+5.

Además,

2.-

Nota:

Observa que el dominio de la función resultante solo sería toda la recta real salvo el cero, que no coincide con la intersección de los dominios. A pesar de esto no debes calcular el dominio trabajando con la función resultante sino con la intersección.

Ejercicios

Calcula las funciones suma y diferencia de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:

Producto y cociente de funciones.

Definición

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

y1 = f1(x) y y = f2(x).

Se llama función producto de ambas, a la función:

yp = y1×y2 = f1(x)×f2(x).

Análogamente podemos definir la función cociente como

Propiedad

Análogamente a lo que ocurre con las funciones suma y diferencia, el dominio de definición de estas funciones vuelve a ser la intersección de los dominios.

Pero además, en la función cociente, habrá que quitar todos los puntos que anulen a f2(x) puesto que serán puntos que anulen el denominador de dicha función.

Ejemplos

1.- Dadas las funciones y1=x+1 y y2=x+2 calcula yp así como yc con sus dominios respectivos.

puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.

2.- Idem con las siguientes funciones:

Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función y2 se anula para dicho punto.

Ejercicios

Calcular yp así como yc en los siguientes casos:

Función compuesta.

Definición

Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (gof) a la función (gof)(x)=g(f(x))

Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g.

Nota

Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En este caso, el dominio de definición de la nueva función sería:

Dom(gof)=

Ejemplos

1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1

En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.

Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof)=Dom(f) = R

Además gof(x)=g(f(x))=(f(x))2+1=(x+1)2+1=x2+2x+1+1=x2+2x+2

2.- Estudiar la existencia de gof en el caso:

En este caso, Dom(g)=R luego el la función gof existe siendo además

Dom(gof)=Dom(f)=

3.-Dadas las funciones estudiar la existencia de gof y de fog

a)gof

Dom(g)=R\{0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces no existirá

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