Factorización de un polinomio

Factorizar

Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de numeros primos.

Factorización de un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtenerun uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

432 = 24 • 33

Factorización de un polinomio

Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:

1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.

2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.

3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.

4º Trinomio de segundo grado.

5º Polinomio de grado superior a dos.

Sacar factor común

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a • x + b • x + c • x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

Doble extracción de factor comúun

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) • (x − b)

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) • (a − b)

x2 − 4 = (X + 2) • (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a • (x -x1 ) • (x -x2 )

Polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 • 14 + 13 − 8 • 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d • c

(x −1) • (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 • 13 + 3 • 12 − 5 • 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 • (− 1)3 + 3 •(− 1)2 − 5 • (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) • (x +1) • (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 • (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 • 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 • (−2)2 + (−2) − 6 = 2 • 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) • (x +1) • (x +2) • (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) • (x +1) • (x +2) • (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Reglas de fracciones

Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador, se pone como denominador ese número, los numeradores se multiplican por el denominador del otro quebrado y se suman los numeradores. Ejemplo:

5

-- +

3 1

-- =

2 10

--- +

6 3

-- =

6 10 + 3

--------- =

6 13

...