Factorizacion Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación
Enviado por ridices • 16 de Noviembre de 2015 • Informes • 2.693 Palabras (11 Páginas) • 144 Visitas
FACTORIZACION
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
a Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Propiedad Cero de la Multiplicación Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0. |
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.
Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.
Ejemplo | |||
Problema |
Resolver a en 5a2 + 15a = 0 |
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5a2 + 15a = 0 |
| El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación |
| 5(a2 + 3a) = 0 |
| 5 es factor común de 5a2 y 15a. |
| 5a(a + 3) = 0 |
| a es factor común un de a2 y 3a. |
En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.
Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.
| 5a = 0 a + 3 = 0 |
| Igualar cada factor a cero |
| [pic 1] a + 3 – 3 = 0 – 3
a = 0 a = -3 |
|
Resolver la ecuación |
Solución | a = 0 o a = -3 |
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Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.
Comprobando a = 0 | Comprobando a = -3 |
5a2 + 15a = 0 | 5a2 + 15a = 0 |
5(0)2 + 15(0) = 0 | 5(-3)2 + 15(-3) = 0 |
5(0) + 0 = 0 | 5(9) – 45 = 0 |
0 + 0 = 0 | 45 – 45 = 0 |
0 = 0 | 0 = 0 |
Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.
Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.
Ejemplo | ||||
Problema | Resolver r. r2 – 5r + 6 = 0. |
| ||
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r2 – 3r – 2r + 6 = 0
|
| Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6. | |
| (r2 – 3r) – (2r – 6) = 0
|
| Agrupar términos | |
| r(r – 3) – 2(r – 3) = 0
|
| Sacar los factores comunes de cada grupo | |
| (r – 3)(r – 2) = 0 |
| Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor | |
| r – 3 = 0 | r – 2 = 0 | Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0 | |
| r = 3 | r = 2 | Resolver la ecuación | |
Solución |
r = 3 o r = 2 |
| Las raíces de la ecuación original son 3 o 2 | |
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